Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Encontre a transformada de Laplace da função dada. Determine uma condição sobre s que garanta a validade de sua transformada.
f(t)=e^a t cos b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=e^a tcos(b t),
ou seja, calcular
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-s tf(t),dt
e determinar para quais valores de s essa integral converge.

Passo 2

Aplicando diretamente a definição, temos
Le^a tcos(b t)(s) =integral0^inftye^-s te^a tcos(b t),dt =integral0^inftye^-(s-a)tcos(b t),dt

Passo 3

Usamos o resultado padrão
integral0^inftye^-c tcos(b t),dt =cc^2+b^2, Re(c)>0
Aqui basta tomar c = s - a.

Passo 4

Substituindo c=s-a obtemos
Le^a tcos(b t)(s) =s - a(s - a)^2+b^2,
com condição de convergência
Re(s - a)>0 ;Long<=ftrightarrow; Re(s)>a

Resposta

Le^a tcos(b t)(s) =s - a(s - a)^2+b^2, Re(s)>a

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