(i) Existe alguma simetria na representação geométrica do gráfico de uma função par? Qual? E da representação do gráfico de uma função ímpar?
(ii) Mostre que dada uma função f: R R, podemos encontrar uma função g: R R, que é uma função par, e uma função h: R R, que é uma função ímpar, tal que f(x)=g(x)+h(x), para x in R.
(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
e) f(x)=x^3+xx^2+1 x, para x in R

Passo 1

O enunciado trata de três objetivos. Primeiro, (i) identificar a simetria geométrica do gráfico de uma função par e de uma função ímpar. Isso usa a definição de paridade: f é par se f(-x)=f(x) e ímpar se f(-x)=-f(x). Segundo, (ii) provar que toda função f:RtoR pode ser escrita como soma de uma parte par g e de uma parte ímpar h. Terceiro, (iii) aplicar isso à função
f(x)=x^3+xx^2+1,x
e decidir se ela é par ou ímpar.

Passo 2

(i) Se f é par, então f(-x)=f(x). Geometricamente, isso significa que, sempre que o ponto (x,f(x)) pertence ao gráfico, o ponto (-x,f(x)) também pertence. Logo há simetria em relação ao eixo y. Se f é ímpar, f(-x)=-f(x), então (x,f(x)) no gráfico implica (-x,-f(x)) também, o que dá simetria em relação à origem.

Passo 3

(ii) Definimos
g(x)=f(x)+f(-x)2, h(x)=f(x)-f(-x)2
Vamos verificar que g é par, h é ímpar e g+h=f.
— Para g:
g(-x) =f(-x)+f(-(-x))2 =f(-x)+f(x)2 =g(x),
logo g é par.
— Para h:
h(-x) =f(-x)-f(-(-x))2 =f(-x)-f(x)2 =-f(x)-f(-x)2 =-h(x),
logo h é ímpar.
— Soma:
g(x)+h(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2 =f(x)

Passo 4

(iii) A função dada é
f(x)=x^3+xx^2+1,x =x^4+x^2x^2+1 =x^2(x^2+1)x^2+1 =x^2
Como ,x^2=(-x)^2, temos f(-x)=f(x), ou seja, f é par.

Resposta

(i) Função par: simetria em relação ao eixo y. Função ímpar: simetria em relação à origem.
(ii) Basta tomar
g(x)=f(x)+f(-x)2, h(x)=f(x)-f(-x)2,
que são, respectivamente, par e ímpar e satisfazem f=g+h.
(iii) A função f(x)=dfracx^3+xx^2+1,x simplifica-se a x^2, logo é par.

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