(i) Existe alguma simetria na representação geométrica do gráfico de uma função par? Qual? E da representação do gráfico de uma função ímpar?
(ii) Mostre que dada uma função
, podemos encontrar uma função
, que é uma função par, e uma função
, que é uma função ímpar, tal que
, para
.
(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
e)
, para
(ii) Mostre que dada uma função
(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
e)
Passo 1
O enunciado trata de três objetivos. Primeiro, (i) identificar a simetria geométrica do gráfico de uma função par e de uma função ímpar. Isso usa a definição de paridade:
é par se
e ímpar se
. Segundo, (ii) provar que toda função
pode ser escrita como soma de uma parte par
e de uma parte ímpar
. Terceiro, (iii) aplicar isso à função
e decidir se ela é par ou ímpar.
Passo 2
(i) Se
é par, então
. Geometricamente, isso significa que, sempre que o ponto
pertence ao gráfico, o ponto
também pertence. Logo há simetria em relação ao eixo
. Se
é ímpar,
, então
no gráfico implica
também, o que dá simetria em relação à origem.
Passo 3
(ii) Definimos
Vamos verificar que
é par,
é ímpar e
.
— Para
:
logo
é par.
— Para
:
logo
é ímpar.
— Soma:
Passo 4
(iii) A função dada é
Como
, temos
, ou seja,
é par.
Resposta
(i) Função par: simetria em relação ao eixo
. Função ímpar: simetria em relação à origem.
(ii) Basta tomar
(ii) Basta tomar
que são, respectivamente, par e ímpar e satisfazem
.
(iii) A função simplifica-se a
, logo é par.
(iii) A função