Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.2: Resolva o problema de valor inicial dado.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = f(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde
f(t)= 0, & 0<= t<pi, 1, & pi<= t<2pi, 0, & t>=2pi
O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace e o tratamento de funções em trechos com funções de Heaviside (passo).

Passo 2

Reescrevemos usando a função de Heaviside . Como em e zero fora,
Tomando a transformada de Laplace, lembrando , obtemos

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Como e , vem
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Passo 4

Escrevemos
Sabemos que
pois .

Passo 5

Aplicando o teorema do deslocamento para cada termo com e^-as, obtemos
y(t)=sin t +u(t-pi)l[1-cosl(t-pir)r] -u(t-2pi)l[1-cosl(t-2pir)r]

Resposta

y(t)=sin t +u(t-pi)l[1-cos(t-pi)r] -u(t-2pi)l[1-cos(t-2pi)r]

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