Calcule, caso exista, lim n +infty an, onde alpha é a seqüência de termo geral: Obs. No item (f), an=5 ne^2 n é um número real fixado.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de limnto+inftyan, sendo an=5ne^2n. O conteúdo aqui é limites de sequências envolvendo funções exponenciais e polinomiais e precisamos usar o fato de que a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.

Passo 2

Para lidar com limites de quocientes que dão a forma infty/infty, podemos estender an a uma função de variável real f(x)=5xe^2x e estudar limxto+inftyf(x).
Aplique a regra de L’Hôpital. Note que tanto o numerador 5x quanto o denominador e^2x tendem a +infty. Derivando numerador e denominador temos:
limxto+infty5xe^2x=limxto+inftyddx(5x)ddx(e^2x)=limxto+infty52e^2x

Passo 3

Como e^2xto+infty quando xto+infty, segue que 52e^2xto0. Portanto, a sequência também tende a zero.

Resposta

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