Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
sumn=1^infty n x^2 n-1

Passo 1

O enunciado pede para achar a soma da série de potências sumn=1^infty n,x^2n-1. O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar derivação termo a termo para chegar a uma forma fechada.

Passo 2

Começamos lembrando a série geométrica clássica sumn=0^infty x^2n=1+ x^2+ x^4+cdots. Sabemos que, para |x|<1,
sumn=0^infty x^2n=11-x^2

Passo 3

Agora aplicamos derivação termo a termo em sumn=0^infty x^2n. Teoricamente isso é válido dentro do raio de convergência |x|<1, e obtemos
ddxsumn=0^infty x^2n=sumn=1^infty2n,x^2n-1

Passo 4

Por outro lado, derivando a expressão fechada,
ddxl(11-x^2r)=2x(1-x^2)^2

Passo 5

Igualando as duas formas da derivada temos sumn=1^infty2n,x^2n-1=2x/(1-x^2)^2. Portanto, dividindo ambos os lados por 2, chegamos à série desejada. Não esqueça que tudo vale para |x|<1, que é o raio de convergência da série.
Conclusão:
sumn=1^inftyn,x^2n-1=x(1-x^2)^2, |x|<1

Resposta

x(1-x^2)^2,;|x|<1

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