Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede para achar a soma da série de potências
. O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar derivação termo a termo para chegar a uma forma fechada.
Passo 2
Começamos lembrando a série geométrica clássica
. Sabemos que, para
,
Passo 3
Agora aplicamos derivação termo a termo em
. Teoricamente isso é válido dentro do raio de convergência
, e obtemos
Passo 4
Por outro lado, derivando a expressão fechada,
Passo 5
Igualando as duas formas da derivada temos
. Portanto, dividindo ambos os lados por 2, chegamos à série desejada. Não esqueça que tudo vale para
, que é o raio de convergência da série.
Conclusão:
Conclusão: