Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
sumn=1^infty n^2 x^n-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série de potências sumn=1^inftyn^2x^n-1, usando operação termo a termo (derivação e/ou integração). O conteúdo envolvido é séries de potências e derivação termo a termo, válido para |x|<1.

Passo 2

Começamos lembrando a série geométrica básica e sua região de convergência:
A série geométrica é
sumn=0^inftyx^n=11-x,
válida para |x|<1.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo em relação a x:
ddxsumn=0^inftyx^n= sumn=1^inftyn,x^n-1 =ddxl(11-xr)=1(1-x)^2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x obtemos a série com termo x^n:
sumn=1^inftyn,x^n=x(1-x)^2

Passo 5

Por fim, derivamos novamente termo a termo para chegar à série com n^2 x^n-1 e calculamos a derivada fechada:
sumn=1^inftyn^2x^n-1=ddxl(x(1-x)^2r) =(1-x)^2- xcdot2(1-x)(-1)(1-x)^4 =1+x(1-x)^3

Resposta

sumn=1^inftyn^2x^n-1=1+x(1-x)^3, |x|<1

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