Calcule, caso exista, lim n +infty an, onde alpha é a seqüência de termo geral: Obs. No item (f), an=ln (n+1)-ln (n) é um número real fixado.

Passo 1

O enunciado pede calcular limntoinftyan com an=ln(n+1)-ln(n). Esse problema envolve limites de sequências e propriedades de logaritmos. Para resolver, vamos usar a fórmula de logaritmo de quociente e o limite da função ln(1+x) quando xto 0.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de logaritmos que diz que ln(a)-ln(b)=lnl(tfracabr). Logo, ln(n+1)-ln(n)=lnl(tfracn+1nr).

Passo 3

Reescrevendo o quociente, temos tfracn+1n=1+tfrac1n. Assim, a sequência fica an=lnl(1+tfrac1nr).

Passo 4

Como ntoinfty, tfrac1nto 0. Sabemos que a função ln(1+x) é contínua em x=0 e que limxto 0ln(1+x)=0. Portanto, limntoinftyan=0.

Resposta

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