Determine as expansões em séries de potências em torno de x0=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
ln (1+x)

Passo 1

O exercício pede a expansão em série de potências (Maclaurin) de ln(1+x) em torno de x0=0. O conteúdo envolve série de Taylor, derivadas e o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Repare que ddxln(1+x)=11+x. Para |x|<1 podemos usar a série geométrica e obter
11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 até x para recuperar ln(1+x):
ln(1+x)=integral0^x11+tdt=integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^n dt=sumn=0^infty(-1)^nx^n+1n+1
Reindexando com k=n+1 vem
ln(1+x)=sumk=1^infty(-1)^k-1x^kk

Passo 4

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em ak=(-1)^k-1x^kk:
limktoinfty|ak+1ak|=limktoinfty|x|kk+1=|x|
Logo converge se |x|<1. Em x=1 há convergência condicional (série alternante de Leibniz) e em x=-1 diverge porque ln(0) não existe.

Resposta

A expansão em série de potências de ln(1+x) em torno de 0 é
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn
com raio de convergência R=1, isto é, válida para |x|<1 (converge condicionalmente em x=1 e diverge em x=-1).

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