Determine as expansões em séries de potências em torno de das seguintes funções e os valores de para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O exercício pede a expansão em série de potências (Maclaurin) de em torno de . O conteúdo envolve série de Taylor, derivadas e o teste da razão para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Repare que . Para podemos usar a série geométrica e obter
Passo 3
Integramos termo a termo de 0 até para recuperar :
Reindexando com vem
Passo 4
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em :
Logo converge se |x|<1. Em x=1 há convergência condicional (série alternante de Leibniz) e em x=-1 diverge porque ln(0) não existe.
Resposta
A expansão em série de potências de ln(1+x) em torno de 0 é
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn
com raio de convergência R=1, isto é, válida para |x|<1 (converge condicionalmente em x=1 e diverge em x=-1).