Expanda
em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
O exercício pede para expandir a função
numa série de Laurent válida no domínio anelar
. O conteúdo principal é a expansão de termos do tipo
usando a série binomial para expoentes negativos.
Passo 2
Perceba que, para
, podemos definir
, de modo que
. Para reescrever
em termos de
, note que
o que implica
Assim
Passo 3
ao colocar dentro de
temos
Passo 4
Agora usamos a série binomial para expoentes negativos: para
Substituindo
:
Passo 5
Por fim, renomeando o índice de soma: seja
, então
e
. A série fica
o que é justamente a expansão de Laurent de
válida para
.
Resposta
[ f(z) = \sum_{k=3}{\infty}(k-2),z{-k}. ]