Expanda f(z)=1z(1-z)^2 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
|z|>1

Passo 1

O exercício pede para expandir a função f(z)=1z(1-z)^2 numa série de Laurent válida no domínio anelar |z|>1. O conteúdo principal é a expansão de termos do tipo (1-w)^-2 usando a série binomial para expoentes negativos.

Passo 2

Perceba que, para |z|>1, podemos definir w=1/z, de modo que |w|<1. Para reescrever (1-z)^2 em termos de w, note que
1 - z = -zl(1 - tfrac1zr) = -z,(1 - w),
o que implica
(1 - z)^2 = z^2,(1 - w)^2
Assim

Passo 3

ao colocar dentro de f(z) temos
f(z) = 1z,(1-z)^2 = 1z,l(z^2(1-w)^2r) = z^-3,(1 - w)^-2

Passo 4

Agora usamos a série binomial para expoentes negativos: para |w|<1
(1 - w)^-2 = sumn=0^infty(n+1),w^n
Substituindo w=1/z:
f(z) = z^-3sumn=0^infty(n+1),z^-n = sumn=0^infty(n+1),z^-n-3

Passo 5

Por fim, renomeando o índice de soma: seja k=n+3, então n=k-3 e n+1=k-2. A série fica
f(z) = sumk=3^infty(k-2),z^-k,
o que é justamente a expansão de Laurent de f(z) válida para |z|>1.

Resposta

[ f(z) = \sum_{k=3}{\infty}(k-2),z{-k}. ]

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