QuestĂŁo 27: Calcule , sendo e a parte da es, no primeiro octante com a normal apontando para fora.
Passo 1
O exercício pede o cálculo do fluxo integral duplaSvec Fcdotvec n,dS, onde vec F(x,y,z)=y,vec i - x,vec j e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no primeiro octante, com a normal apontando para fora. O conteúdo envolve integrais de fluxo em superfícies e vamos precisar parametrizar a esfera em coordenadas esféricas e usar a expressão de dS e do vetor normal unitário.
Passo 2
Parametrizamos a superfície esférica usando os ângulos phi (polar) e theta (azimutal):
x = asinphicostheta,
y = asinphisintheta,
z = acosphi,
com phiin[0,tfracpi2] e thetain[0,tfracpi2] cobrindo o primeiro octante.
Passo 3
Para uma esfera de raio a, o elemento de área é
dS = a^2sinphi,dphi,dtheta
e o vetor normal unitário apontando para fora é
vec n = vec ra,
onde vec r=(x,y,z).
Passo 4
O fluxo se torna
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral dupla0^pi/2!!integral dupla0^pi/2vec F(x(phi,theta),y(phi,theta),z(phi,theta))cdotvec ra,a^2sinphi,dphi,dtheta = aintegral dupla0^pi/2!!integral dupla0^pi/2(vec Fcdotvec r),sinphi,dphi,dtheta
Passo 5
Como
vec Fcdotvec r = (y, -x,0)cdot(x,y,z) = yx - x y = 0,
segue que o integrando é zero em toda a superfície, portanto o fluxo é zero.