Calcule caso exista,
, sendo
igual a
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- É dada a sequência
.\n - Pede-se calcular, se existir,
.\n
Passo 2
Entendendo a estrutura da sequência (uma mini-aula):\n
- A sequência é do tipo geométrica multiplicada por uma constante. Em geral, uma sequência geométrica tem a forma
, onde é a razão.\n - Propriedade importante: se
então . Intuição: um número com valor absoluto menor que fica cada vez menor quando elevado a potências maiores (por exemplo , , , …), até ficar arbitrariamente próximo de zero.\n - Se tivermos uma constante multiplicando
, isto é, uma sequência com constante , então (propriedade linearidade do limite), desde que o limite de exista.\n
Passo 3
Aplicando ao caso concreto: identificar a razão e seu módulo\n
- Aqui a razão é
.\n - Calcule o valor absoluto:
.\n - Observação:
, portanto . Pela propriedade do passo anterior, isso implica .\n - Nota sobre o sinal: como
é negativo, , ou seja, os termos alternam sinal, mas a magnitude tende a zero. A alternância de sinal não impede o limite, que será se a magnitude vai a .\n
Passo 4
Prova técnica curta (epsilon–N) para consolidar — mostrar que a sequência tende a zero\n
- Seja
. Queremos tal que, para todo , .\n - Calcule a diferença absoluta:
- Como
, existe suficientemente grande tal que (por exemplo, pode-se tomar — a existência é garantida porque ).\n - Para esse
e todo vale
- Isso prova rigorosamente que
.\n
Passo 5
Conclusão final e comentário incentivador\n
- Portanto, a sequência tende a zero. Mesmo que os termos oscilem de sinal (por causa do
), a magnitude decresce geometricamente para zero, e o limite é .\n - Bom trabalho por encarar isso — sequências geométricas com razão em módulo menor que
sempre tendem a zero, fica fácil de lembrar na prova!\n