Calcule caso exista, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, sendo a_{n} igual a
6\left(-\frac{5}{6}\right)^{n}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • É dada a sequência a_{n}=6\left(-\dfrac{5}{6}\right)^{n}.\n
  • Pede-se calcular, se existir, \lim_{n\to\infty} a_{n}.\n

Passo 2

Entendendo a estrutura da sequência (uma mini-aula):\n
  • A sequência é do tipo geométrica multiplicada por uma constante. Em geral, uma sequência geométrica tem a forma b_n = r^n, onde r é a razão.\n
  • Propriedade importante: se |r|<1 então \lim_{n\to\infty} r^n = 0. Intuição: um número com valor absoluto menor que 1 fica cada vez menor quando elevado a potências maiores (por exemplo 0{,}5^1=0{,}5, 0{,}5^2=0{,}25, 0{,}5^3=0{,}125, …), até ficar arbitrariamente próximo de zero.\n
  • Se tivermos uma constante multiplicando r^n, isto é, uma sequência c\cdot r^n com constante c, então \lim_{n\to\infty} c\cdot r^n = c\cdot\lim_{n\to\infty} r^n (propriedade linearidade do limite), desde que o limite de r^n exista.\n

Passo 3

Aplicando ao caso concreto: identificar a razão e seu módulo\n
  • Aqui a razão é r = -\dfrac{5}{6}.\n
  • Calcule o valor absoluto: \left|r\right|=\left|-\dfrac{5}{6}\right|=\dfrac{5}{6}.\n
  • Observação: \dfrac{5}{6}=0{,}833\ldots, portanto \left|r\right|<1. Pela propriedade do passo anterior, isso implica \lim_{n\to\infty} r^n = 0.\n
  • Nota sobre o sinal: como r é negativo, r^n = (-1)^n\left(\dfrac{5}{6}\right)^n, ou seja, os termos alternam sinal, mas a magnitude \left(\dfrac{5}{6}\right)^n tende a zero. A alternância de sinal não impede o limite, que será 0 se a magnitude vai a 0.\n

Passo 4

Prova técnica curta (epsilon–N) para consolidar — mostrar que a sequência tende a zero\n
  • Seja \varepsilon>0. Queremos N tal que, para todo n\ge N, \left|a_n-0\right|<\varepsilon.\n
  • Calcule a diferença absoluta:
\left|a_n-0\right|=\left|6\left(-\dfrac{5}{6}\right)^{n}\right|=6\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}.
  • Como \dfrac{5}{6}\in(0,1), existe N suficientemente grande tal que \left(\dfrac{5}{6}\right)^{N}<\dfrac{\varepsilon}{6} (por exemplo, pode-se tomar N>\dfrac{\ln(\varepsilon/6)}{\ln(5/6)} — a existência é garantida porque \ln(5/6)<0).\n
  • Para esse N e todo n\ge N vale
\left|a_n-0\right|=6\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}\le 6\left(\dfrac{5}{6}\right)^{N}<6\cdot\dfrac{\varepsilon}{6}=\varepsilon.
  • Isso prova rigorosamente que \lim_{n\to\infty} a_n=0.\n

Passo 5

Conclusão final e comentário incentivador\n
  • Portanto, a sequência tende a zero. Mesmo que os termos oscilem de sinal (por causa do (-1)^n), a magnitude decresce geometricamente para zero, e o limite é 0.\n
  • Bom trabalho por encarar isso — sequências geométricas com razão em módulo menor que 1 sempre tendem a zero, fica fácil de lembrar na prova!\n

Resposta

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