(1,0 pontos) Determine a reta tangente ao gráfico da função abaixo em x=2.
f(x)=raizx3-x

Passo 1

A questão pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=raiztfracx3-x em x=2. Para isso, precisamos do valor da função em 2 e da derivada (regra da cadeia + quociente) para obter o coeficiente angular.

Passo 2

Calcular o valor de f em 2.: Temos f(2)=raiztfrac23-2=raiz2.

Passo 3

Obter a derivada f'(x). Escrevendo f(x)=(tfracx3-x)^1/2 e aplicando a regra da cadeia junto com a derivada do quociente, resulta em:
f'(x)=12l(x3-xr)^-1/2cdot(3-x)cdot1 - xcdot(-1)(3-x)^2=32(3-x)^2raiztfracx3-x

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=2.:Substituindo,
f'(2)=32(3-2)^2raiz2=32raiz2=3raiz24

Passo 5

Montar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y - f(2)=f'(2)(x-2) Longrightarrow y - raiz2=3raiz24(x-2)

Resposta

y = \frac{3\sqrt{2}}{4}x - \frac{\sqrt{2}}{2}

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