Suponha que y=f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação x^2 y+x y^2=3 x. Encontre f^prime(x).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função implícita y=f(x) dada por x^2y + x y^2 = 3x. O objetivo é encontrar f'(x)=dydx usando diferenciação implícita.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Para x^2y e x y^2 aplicamos a regra do produto e para 3x a derivada é 3. Obtemos:
ddx(x^2y) + ddx(x y^2) = ddx(3x)
que vira
$$
2x,y + x^{2}y’ + y^{2} + 2x,y,y’ = 3
$$

Passo 3

Agora, agrupamos os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro:
(x^2 + 2x y),y' + (2x y + y^2) = 3

Passo 4

Isolando y', subtraímos (2x y + y^2) de ambos os lados e dividimos por (x^2 + 2x y):

Resposta

f'(x)=y'=3 - 2x y - y^2x^2 + 2x y

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