Calcule, caso exista,
lim x 0 1x sen 1x (Justifique)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto01x,sen!1x
Este é um problema de limites de funções oscilatórias multiplicadas por termos não limitados. Vamos usar uma mudança de variável e construir sequências que mostram comportamento divergente.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = 1x,
vemos que quando xto0 temos ttopminfty. A expressão fica
1x,sen!1x = t,sen t,
e o limite original se transforma em
limttopminftyt,sen t

Passo 3

Para mostrar que não há limite finito, basta exibir duas sequências em que t,sen t vá para +infty e para -infty.
  1. Escolha tn = pi2 + 2pi n. Então sen tn = 1 e
tn,sen tn = pi2 + 2pi n ;xrightarrow[ntoinfty]; +infty
  1. Escolha un = 3pi2 + 2pi n. Então sen un = -1 e
un,sen un = -l(3pi2 + 2pi nr);xrightarrow[ntoinfty]; -infty

Passo 4

Como ao longo de ttoinfty a expressão t,sen t atinge valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, o limite não converge para nenhum número real nem para pminfty de forma única.

Resposta

O limite não existe.

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