Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição
–
de limite, que
O conteúdo é definição formal de limite de função em um ponto e manipulações algébricas para obter
em função de
.
Passo 2
Por definição, devemos provar que para todo
existe
tal que, se
, então
onde
e
.
Passo 3
Escrevemos a diferença em módulo e fatoramos:
Passo 4
Queremos controlar
. Se restringirmos
, então
implica
e, consequentemente,
Passo 5
Dessa forma, sempre que
vale
Para garantir
, basta escolher
. Logo, tomamos
Passo 6
Com essa escolha de
, sempre que
teremos
. Isso mostra, pela definição, que