Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 2 x^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição epsilon de<a de limite, que
limx to 2 x^3 = 8
O conteúdo é definição formal de limite de função em um ponto e manipulações algébricas para obter de<a em função de epsilon.

Passo 2

Por definição, devemos provar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se |x-2|<de<a, então
|f(x)-L|<varepsilon,
onde f(x)=x^3 e L=8.

Passo 3

Escrevemos a diferença em módulo e fatoramos:
|x^3-8| = |x-2|;|x^2 + 2x + 4|

Passo 4

Queremos controlar |x^2+2x+4|. Se restringirmos de<a <= 1, então |x-2|<1 implica 1 < x < 3 e, consequentemente,
|x^2 + 2x + 4| <= 3^2 + 2cdot3 + 4 = 19

Passo 5

Dessa forma, sempre que |x-2|<de<a<=1 vale
|x^3-8| < 19,|x-2|
Para garantir |x^3-8|<varepsilon, basta escolher |x-2|<varepsilon/19. Logo, tomamos
de<a = min!l1,varepsilon19r

Passo 6

Com essa escolha de de<a, sempre que |x-2|<de<a teremos |x^3-8|<varepsilon. Isso mostra, pela definição, que
limxto 2 x^3 = 8

Resposta

limxto2 x^3 = 8

Exercícios relacionados