Considere o P.V.I.:
(a) Mostre que ele possui infinitas soluções.
(b) Explique por que este exemplo não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade.
(b) Explique por que este exemplo não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade.
Passo 1
Beleza, vamos traduzir rapidinho o que o exercício pede. Ele dá um P.V.I. (problema de valor inicial)
Conteúdo envolvido: equações diferenciais ordinárias, método de separação de variáveis e o Teorema de Existência e Unicidade (especialmente a condição de Lipschitz). Para resolver, a gente vai:
- separar variáveis e integrar;
- construir várias soluções que satisfaçam a condição inicial;
- analisar por que não bate com a unicidade do teorema.
Passo 2
Parte (a): mostrar que há infinitas soluções.
- Suponha [y\neq0). A gente separa:
- Integração dos dois lados:
- Impondo
obtém-se , ou seja, uma solução é . Também (solução trivial) funciona. - Mas dá pra inventar infinitas outras: para qualquer
, defina
- Se .
- Se
, então . - Em
tanto quanto coincidem pelos dois lados (ambos zero).
Logo cada escolha degera uma solução distinta, e são infinitas.
Passo 3
Parte (b): por que isso não contraria o Teorema de Existência e Unicidade?
O teorema requer que a função
O teorema requer que a função
seja contínua e Lipschitz em
numa vizinhança de
. Aqui
é contínua, mas
explode em
, ou seja, não existe constante de Lipschitz ali. Sem a condição de Lipschitz, o teorema não garante unicidade, então não há contradição.
Resposta
(a) A família infinita de soluções é
para qualquer
.
(b) Não há contradição porque não satisfaz condição de Lipschitz em
, logo o teorema não assegura unicidade.
(b) Não há contradição porque