(0,5 p t) Considere o P.V.I.:
l y^prime=3 y^23 y(0)=0
(a) Mostre que ele possui infinitas soluções.
(b) Explique por que este exemplo não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade.

Passo 1

Beleza, vamos traduzir rapidinho o que o exercício pede. Ele dá um P.V.I. (problema de valor inicial)
y' = 3,y^2/3, y(0)=0
Conteúdo envolvido: equações diferenciais ordinárias, método de separação de variáveis e o Teorema de Existência e Unicidade (especialmente a condição de Lipschitz). Para resolver, a gente vai:
  1. separar variáveis e integrar;
  2. construir várias soluções que satisfaçam a condição inicial;
  3. analisar por que não bate com a unicidade do teorema.

Passo 2

Parte (a): mostrar que há infinitas soluções.
  1. Suponha [y\neq0). A gente separa:
  1. Integração dos dois lados:
  1. Impondo obtém-se , ou seja, uma solução é . Também (solução trivial) funciona.
  2. Mas dá pra inventar infinitas outras: para qualquer , defina
  • Se .
  • Se , então .
  • Em tanto quanto coincidem pelos dois lados (ambos zero).
    Logo cada escolha de gera uma solução distinta, e são infinitas.

Passo 3

Parte (b): por que isso não contraria o Teorema de Existência e Unicidade?
O teorema requer que a função
f(y)=3y^2/3
seja contínua e Lipschitz em y numa vizinhança de y=0. Aqui f é contínua, mas
f'(y)=2,y^-1/3
explode em y=0, ou seja, não existe constante de Lipschitz ali. Sem a condição de Lipschitz, o teorema não garante unicidade, então não há contradição.

Resposta

(a) A família infinita de soluções é
y(t)=0(0<= t<= a), y(t)=(t-a)^3(t>= a),
para qualquer a>=0.
(b) Não há contradição porque f(y)=3y^2/3 não satisfaz condição de Lipschitz em y=0, logo o teorema não assegura unicidade.

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