Verificar se a função g(t)=cc2 sin (t)t i+3 j ; & t neq 0 2 i+3 j ; & t=0 é contínua em t=0.
Resposta: g(t) é contínua em t=0 pois lim t 0 g(t)=2 i+3 j=g(0)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
g(t)= dfrac2sin(t)t,i + 3,j,&tneq0,[6pt] 2,i+3,j,&t=0,
e pede para verificar continuidade em t=0. Para isso, usamos a definição de continuidade:
g é contínua em t=0Long<=ftrightarrowlimtto0g(t)=g(0), éí
além do resultado clássico
limtto0sin(t)t=1
]

Passo 2

Calcular o valor de vec g em t=0. Pela definição da parte t=0:
vec g(0)=2,vec i+3,vec j

Passo 3

Calcular o limite de vec g(t) quando tto0. Para tneq0 temos
vec g(t)=2sin(t)t,vec i+3,vec j
Logo,
limtto0vec g(t) =limtto02sin(t)t,vec i ;+;limtto03,vec j =2,l(limtto0tfracsin(t)tr),vec i+3,vec j =2cdot1,vec i+3,vec j =2,vec i+3,vec j

Passo 4

Comparando os resultados,
limtto0vec g(t)=2,vec i+3,vec j e vec g(0)=2,vec i+3,vec j,
vemos que o limite coincide com o valor da função em 0, satisfazendo a definição de continuidade.

Resposta

A função vec g(t) é contínua em t=0, pois
limtto0vec g(t)=2,vec i+3,vec j=vec g(0)

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