Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 6(12 x+1)

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição epsilon de<a de limite, que a função
f(x)=tfrac12x+1
tem limite quando xto6 e para encontrar esse limite. O conteúdo é limite de função e vamos precisar aplicar a definição formal: “para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-6|<de<a, então |f(x)-L|<varepsilon.”

Passo 2

Como f é linear, suspeitamos que o limite seja
L = f(6) = tfrac12cdot6+1 = 4
Então queremos mostrar que
limxto6f(x)=4
no sentido epsilon de<a.

Passo 3

Começamos calculando a diferença em valor absoluto:
|f(x)-4| = l|tfrac12x+1 - 4r| = l|tfrac12x - 3r| = tfrac12,|x-6|

Passo 4

Para garantir |f(x)-4|<varepsilon, basta escolher de<a de modo que
tfrac12,|x-6|<varepsilon Long<=ftarrow |x-6|<2varepsilon
Portanto, dado qualquer varepsilon>0, basta tomar
de<a = 2varepsilon
Assim, sempre que 0<|x-6|<de<a, temos
|f(x)-4| = tfrac12,|x-6| < tfrac12,de<a = varepsilon

Passo 5

Concluímos que, pela definição de limite, limxto6(tfrac12x+1)=4.

Resposta

limxto6l(tfrac12x+1r)=4

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