Calcule, caso exista
lim x 0^+ x^alpha ln x, alpha>0

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto0^+ x^alphaln x com alpha>0, que é um produto do tipo 0cdot(-infty). Vamos reescrever a expressão para aplicar L’Hospital.

Passo 2

Reescrevemos x^alphaln x como quociente:
ln xx^-alpha
Ao fazermos xto0^+, temos numerador ln xto-infty e denominador x^-alphato+infty. Isso gera a forma tfrac-infty+infty, adequada para L’Hospital.

Passo 3

Calculamos as derivadas: derivada de ln x é 1/x e derivada de x^-alpha é -alpha x^-alpha-1.

Passo 4

Aplicando L’Hospital, o limite vira o de:
1/x-alpha x^-alpha-1 = -1alpha,x^alpha
Como alpha>0, temos x^alphato0 quando xto0^+. Portanto este limite vale 0.

Passo 5

Pelo resultado de L’Hospital, o limite original também é 0.

Resposta

0

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