Calcule:
lim x +infty(1-1 / x)^x

Passo 1

O problema pede para calcular o limite . Esse tipo de limite gera uma forma indeterminada , então vamos usar logaritmo para resolver. O tema aqui é limites envolvendo exponenciais e transformações com logaritmo.

Passo 2

Para transformar a potência em algo manipulável, definimos e aplicamos logaritmo natural: . Assim passamos de uma forma para uma forma .

Passo 3

Precisamos então achar . Note que e , então é . Para aplicar l’Hôpital, reescrevemos como quociente:

Passo 4

limxto+inftyxln(1-1/x)=limxto+inftyln(1-1/x)1/x

Passo 5

Agora aplicamos a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a :

Passo 6

  • Derivada do numerador ddxln(1-1/x)=11-1/xcdotddx(1-1/x)=1/x^21-1/x é

Passo 7

  • Derivada do denominador ddx(1/x)=-,1/x^2 é

Passo 8

Então o limite do quociente vale
1/x^21-1/xg/l(-1/x^2r)=-11-1/xto-1

Passo 9

Concluímos que , ou seja . Portanto

Passo 10

limxto+inftyy=e^-1

Resposta

1/e

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