Calcule, caso exista
lim x 0^-(1-cos x)^1 / x

Passo 1

A questão pede limxto0^-(1-cos x)^1/x. Esse limite é da forma 0^ -infty , uma indeterminação típica de exponenciais, então vamos usar logaritmo para resolver e também a série de Taylor de cos x.

Passo 2

Chamando esse limite de L, aplicamos logaritmo natural para transformar a potência em produto:
ln L = limxto0^- lnl(1-cos xr)x

Passo 3

Precisamos agora achar a expansão de ln(1-cos x) para x próximo de zero. Usando Taylor em cos x:
cos x = 1 - x^22 + o(x^2) implies 1-cos x = x^22 + o(x^2)
Aplicando logaritmo:
lnl(1-cos xr) = lnl(tfracx^22 + o(x^2)r) = lnl(tfracx^22r) + o(1) = 2ln|x| - ln2 + o(1)

Passo 4

Substituindo essa expansão em ln L:
ln L = limxto0^- 2ln|x| - ln2 + o(1)x
Quando xto0^-, temos ln|x|to-infty e xto0^-, então tanto
ln|x|x quanto -ln2x vão para +infty. Logo ln L = +infty.

Passo 5

Como ln Lto+infty, concluímos que L = e^ln L = e^+infty = +infty. Ou seja, o limite diverge para +infty.

Resposta

+\infty

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