( 1,5 pontos) Uma livraria adquire um livro de Cálculo ao custo de R por unidade. A gerente da livraria estima que pode vender 180 unidades a um preço de por unidade A >=rente da livraria estima que pode vender 180 unidades a um preço de e que cada redução de 100,00 no preço fará aumentar em 30 unidades o número de unidades vendidas. Qual deve ser o preço do livro para maximizar o lucro total da livraria?

Passo 1

O enunciado diz que a livraria paga R$ 40,00 por livro e vende 180 unidades a R$ 100,00 cada. Para cada queda de R$ 5,00 no preço, a demanda aumenta em 30 unidades. O conteúdo é otimização de lucro usando demanda linear e derivada de função quadrática.

Passo 2

Para achar a função demanda em função do preço p, note que ao reduzir o preço de R$ 100,00 para R$ 95,00 (queda de 5) a demanda vai de 180 para 210 (aumenta 30). Assim a taxa 100,00 para R. Logo a demanda é da forma De. Como Q(p)=a-6p, temos
Q(100)=180
Portanto
a-6cdot100=180 implies a=780

Passo 3

O lucro total pi(p) é receita menos custo. A receita é pcdot Q(p) e o custo é R$ 40 por unidade, ou seja custo total 40 por unidade, ou seja custo total . Logo
Logo
Substituindo pi(p)=p,Q(p)-40,Q(p)=(p-40),Q(p) :
Substituindo

Passo 4

Para maximizar pi(p), expandimos e derivamos:
pi(p)=(p-40)(780-6p)=780p-6p^2-31200+240p= -6p^2+1020p-31200
Derivando em relação a p:
pi'(p)=-12p+1020
Igualando a zero para achar extremo:
-12p+1020=0 implies p=102012=85

Passo 5

Verificamos que é um máximo (coeficiente de p^2 negativo) e a demanda continua positiva: Q(85)=780-6cdot85=270>0. Portanto o preço ótimo é R$ 85,00.

Resposta

R$ 85,00

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