( 1,5 pontos) Uma livraria adquire um livro de Cálculo ao custo de
por unidade. A gerente da livraria estima que pode vender 180 unidades a um preço de
e que cada redução de
no preço fará aumentar em 30 unidades o número de unidades vendidas. Qual deve ser o preço do livro para maximizar o lucro total da livraria?
Passo 1
O enunciado diz que a livraria paga R$ 40,00 por livro e vende 180 unidades a R$ 100,00 cada. Para cada queda de R$ 5,00 no preço, a demanda aumenta em 30 unidades. O conteúdo é otimização de lucro usando demanda linear e derivada de função quadrática.
Passo 2
Para achar a função demanda em função do preço
, note que ao reduzir o preço de R$ 100,00 para R$ 95,00 (queda de 5) a demanda vai de 180 para 210 (aumenta 30). Assim a taxa
. Logo a demanda é da forma
. Como
, temos
Portanto
Passo 3
O lucro total
é receita menos custo. A receita é
e o custo é R$ 40 por unidade, ou seja custo total
. Logo
Substituindo
:
Passo 4
Para maximizar
, expandimos e derivamos:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero para achar extremo:
Passo 5
Verificamos que é um máximo (coeficiente de
negativo) e a demanda continua positiva:
. Portanto o preço ótimo é R$ 85,00.
Resposta
R$ 85,00