A função y=f(x) é dada implicitamente pela equação x y^3+x y=6. Determine f^prime(3) sabendo que f(3)=1.

Passo 1

Temos a função y=f(x) definida implicitamente pela equação x y^3 + x y = 6. O objetivo é encontrar f'(3) sabendo que f(3)=1. Para isso, vamos usar derivação implícita, que permite diferenciar equações que relacionam x e y sem isolar y.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados da equação x y^3 + x y = 6 em relação a x, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
ddx(x y^3) + ddx(x y) = 0
Isso dá
y^3 + xcdot 3y^2 y' + y + x y' = 0
Reorganizando os termos que contêm y':
(3 x y^2 + x),y' + (y^3 + y) = 0

Passo 3

Isolando y' na expressão anterior, obtemos
y' = -y^3 + yx(3y^2 +1)
Agora só falta substituir x=3 e y=f(3)=1:
f'(3) = -1^3 + 13(3cdot1^2 +1) = -212 = -16

Resposta

-16

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