Mostre que a função sinh x=e^x-e^-x2 é inversível e sua inversa é dada por
arcsinh x=ln (x+raiz1+x^2), x in R

Passo 1

A questão quer mostrar que a função sinh x=e^x-e^-x2 é invertível e encontrar explicitamente sua inversa, que é o arcsinh. Vamos usar derivadas para garantir injetividade e depois resolver a equação y=sinh x para obter x em função de y.

Passo 2

Calculamos a derivada para ver que sinh x é estritamente crescente. De fato, usando regra da exponencial,
ddxsinh x=ddxl(e^x-e^-x2r)=e^x+e^-x2=cosh x,
e sabemos que cosh x>=1>0 para todo x. Logo sinh x é estritamente crescente e, como limxto-inftysinh x=-infty e limxto+inftysinh x=+infty, ela é bijetora de R em R.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y=sinh x e resolvemos em função de x. Começamos com
y=e^x-e^-x2Longrightarrow 2y=e^x-e^-x
Multiplicando por e^x temos
2y,e^x=e^2x-1Longrightarrow e^2x-2y,e^x-1=0
Isso é uma equação quadrática em t=e^x:
t^2-2y,t-1=0
Pela fórmula de Bhaskara,
t=2ypmraiz4y^2+42=ypmraizy^2+1
Como t=e^x>0, escolhemos o sinal +. Assim
e^x=y+raizy^2+1Longrightarrow x=lnl(y+raizy^2+1r)

Passo 4

Portanto, a inversa de sinh x é
arcsinhy=lnl(y+raiz1+y^2r), yin R

Resposta

arcsinhx=lnl(x+raiz1+x^2r), xin R.

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