Mostre que a função
é inversível e sua inversa é dada por
Passo 1
A questão quer mostrar que a função
é invertível e encontrar explicitamente sua inversa, que é o
. Vamos usar derivadas para garantir injetividade e depois resolver a equação
para obter
em função de
.
Passo 2
Calculamos a derivada para ver que
é estritamente crescente. De fato, usando regra da exponencial,
e sabemos que
para todo
. Logo
é estritamente crescente e, como
e
, ela é bijetora de
em
.
Passo 3
Para achar a inversa, escrevemos
e resolvemos em função de
. Começamos com
Multiplicando por
temos
Isso é uma equação quadrática em
:
Pela fórmula de Bhaskara,
Como
, escolhemos o sinal
. Assim
Passo 4
Portanto, a inversa de
é