Para as funções dadas abaixo, faça o gráfico, determiando suas assíntotas e os pontos onde a função cruza os eixos e :

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f(x)=2xx+1, determinando seu domínio, interceptos nos eixos, assíntotas e esboçando o gráfico. O conteúdo é funções racionais e vamos precisar de limites e divisão de polinômios.

Passo 2

Identificamos o domínio: todos os x tais que x+1neq0, ou seja xneq-1. Há, portanto, uma descontinuidade em x=-1, indicando possível assíntota vertical.

Passo 3

Para encontrar o intercepto com o eixo y, fazemos x=0 e obtemos f(0)=0, logo o ponto (0,0). Para o intercepto com o eixo x, resolvemos f(x)=0 2xx+1=0 x=0, resultando no mesmo ponto (0,0).

Passo 4

Analisamos as assíntotas. A assíntota vertical está em x=-1, pois
limxto -1^+f(x)=-infty,limxto -1^-f(x)=+infty

Passo 5

A assíntota horizontal vem do limite em infinito:
limxtopminfty2xx+1=2

Passo 6

Reescrevemos a função por divisão de polinômios:
f(x)=2xx+1=2-2x+1 Isso evidencia que a reta y=2 é assíntota horizontal e mostra como o gráfico se aproxima dela.

Passo 7

Esboçamos o gráfico: desenhamos as retas x=-1 e y=2, marcamos o ponto (0,0) e observamos o comportamento nos dois intervalos:
– Para x>-1: f(x) vai de -infty em xto-1^+ até aproximar-se de 2 quando xto+infty.
– Para x<-1: f(x) vai de +infty em xto-1^- até aproximar-se de 2 quando xto-infty.
Isso forma dois ramos de hipérbole centrados no ponto de interseção das assíntotas (-1,2).

Resposta

Assíntota vertical em x=−1; assíntota horizontal em y=2; intercepto único em (0,0). O gráfico é uma hipérbole com dois ramos (um para x<−1 e outro para x>−1) que se aproximam de x=−1 e y=2.

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