Para as funções dadas abaixo, faça o gráfico, determiando suas assíntotas e os pontos onde a função cruza os eixos
e
:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
, determinando seu domínio, interceptos nos eixos, assíntotas e esboçando o gráfico. O conteúdo é funções racionais e vamos precisar de limites e divisão de polinômios.
Passo 2
Identificamos o domínio: todos os
tais que
, ou seja
. Há, portanto, uma descontinuidade em
, indicando possível assíntota vertical.
Passo 3
Para encontrar o intercepto com o eixo
, fazemos
e obtemos
, logo o ponto
. Para o intercepto com o eixo
, resolvemos
⇒
⇒
, resultando no mesmo ponto
.
Passo 4
Analisamos as assíntotas. A assíntota vertical está em
, pois
Passo 5
A assíntota horizontal vem do limite em infinito:
Passo 6
Reescrevemos a função por divisão de polinômios:
Passo 7
Esboçamos o gráfico: desenhamos as retas
e
, marcamos o ponto
e observamos o comportamento nos dois intervalos:
– Para
:
vai de
em
até aproximar-se de
quando
.
– Para :
vai de
em
até aproximar-se de
quando
.
– Para
Isso forma dois ramos de hipérbole centrados no ponto de interseção das assíntotas
.
Resposta
Assíntota vertical em x=−1; assíntota horizontal em y=2; intercepto único em (0,0). O gráfico é uma hipérbole com dois ramos (um para x<−1 e outro para x>−1) que se aproximam de x=−1 e y=2.