Calcule, caso exista
lim x +infty(1+3 x)^1 / ln x

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x→+∞ de (1+3x)^{1/ln x}. Isso é uma forma tipo ∞^0, então vamos usar logaritmo para transformar em uma forma de exp(t) e achar o limite do expoente.

Passo 2

Definimos L = limxto+infty(1+3x)^1/ln x. Tomamos logaritmo natural para transformar:
ln L = limxto+inftyln(1+3x)ln x

Passo 3

O quociente ln(1+3x)ln x é uma indeterminação ∞/∞. Aplicando a regra de l’Hôpital:
limxto+inftyln(1+3x)ln x=limxto+inftyddxln(1+3x)ddxln x = limxto+infty3/(1+3x)1/x=limxto+infty3x1+3x=1

Passo 4

Como ln L=1, concluímos que L= e^1=e.

Resposta

e

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