(1,5 ponto) Considere que a relação abaixo define uma curva no plano xy. Calcule a derivada
em função de
e
.
Passo 1
Temos a curva definida implicitamente por
. Para encontrar
vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra da cadeia e derivadas de
e de logaritmo.
Passo 2
Derivamos
em relação a
. Usando a regra da cadeia, se
então
. Temos
e como
Passo 3
Agora derivamos
. Primeiro note que
. Logo
$$\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\sqrt{x2+y2})\bigr] = \frac12\cdot\frac{2x + 2y y
Passo 4
,
Passo 5
Com o sinal negativo:
Passo 6
Somando as derivadas e igualando a zero (derivada de constante é zero) temos
Passo 7
Multiplicando pelo denominador comum e coletando termos em
dá