(1,5 ponto) Considere que a relação abaixo define uma curva no plano xy. Calcule a derivada y^prime=d y / d x em função de x e y.
arctg(y / x)-ln (raizx^2+y^2)=1

Passo 1

Temos a curva definida implicitamente por arctan(y/x) - ln(raizx^2+y^2) = 1. Para encontrar y' = dydx vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra da cadeia e derivadas de arctan e de logaritmo.

Passo 2

Derivamos arctan(y/x) em relação a x. Usando a regra da cadeia, se u=y/x então ddx[arctan(u)] = u'1+u^2. Temos
ddx[arctan(y/x)] = 11+(y/x)^2cdotddx(y/x) = 11+(y/x)^2cdotx y' - yx^2
e como 1+(y/x)^2=x^2+y^2x^2, isso simplifica para
ddx[arctan(y/x)] = x y' - yx^2+y^2

Passo 3

Agora derivamos -ln(raizx^2+y^2)). Primeiro note que ln(raizx^2+y^2) = tfrac12ln(x^2+y^2). Logo
$$\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\sqrt{x2+y2})\bigr] = \frac12\cdot\frac{2x + 2y y

Passo 4

,

Passo 5

Com o sinal negativo:
ddxl[-ln(raizx^2+y^2)r] = -x + y y'x^2+y^2

Passo 6

Somando as derivadas e igualando a zero (derivada de constante é zero) temos
x y' - yx^2+y^2 - x + y y'x^2+y^2 = 0

Passo 7

Multiplicando pelo denominador comum e coletando termos em y'
x y' - y - x - y y' = 0 Longrightarrow y'(x - y) = x + y

Resposta

y' = x+yx-y

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