Passo 1

Neste exercício temos que calcular o limite limxto -infty cos x expl(tfracx^3+2x+1x^2-xr). O conteúdo envolve limites de exponencial e funções oscilantes; vamos precisar analisar o comportamento do expoente e usar que cos x é limitada.

Passo 2

Primeiro simplificamos o expoente tfracx^3+2x+1x^2-x. Dividindo numerador e denominador por x^2 obtemos:
x^3+2x+1x^2-x=x+2/x+1/x^21-1/x
Quando xto -infty, os termos 2/x,1/x^2,1/x vão a zero, logo o quociente se aproxima de x, que tende a -infty.

Passo 3

Como exp é contínua, temos
expl(tfracx^3+2x+1x^2-xr)toexp(-infty)=0
E cos x é limitada em [-1,1].

Passo 4

Usando o Teorema do Confronto, note que
-expl(tfracx^3+2x+1x^2-xr)<=cos xexpl(tfracx^3+2x+1x^2-xr)<=expl(tfracx^3+2x+1x^2-xr)
e como os limites dos dois extremos são zero, o limite do produto também é zero.

Resposta

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