Calcule, caso exista
lim x +infty ln x^100raiz[5]x

Passo 1

O enunciado pede o valor de limxto+infty ln x^100raiz[5]x. O conteúdo é limite de função na forma indeterminada inftyinfty, e vamos precisar usar simplificação de logaritmo ou regra de L’Hôpital.

Passo 2

Observe que ln x^100=100ln x. Substituindo no limite, obtemos:
limxto+inftyln x^100raiz[5]x=limxto+infty100ln xx^1/5

Passo 3

Agora temos uma forma indeterminada inftyinfty. A regra de L’Hôpital diz que
se limxto a f(x)=limxto a g(x)=infty, então
limxto af(x)g(x)=limxto af'(x)g'(x)
vamos derivar numerador e denominador.

Passo 4

Derivando o numerador e o denominador temos:
f(x)=100ln ximplies f'(x)=100cdot1x,
g(x)=x^1/5implies g'(x)=15x^1/5-1=15x^-4/5
Assim o limite vira
limxto+infty100cdot1xtfrac15x^-4/5=limxto+infty100cdot5,x^-1+4/5=500,x^-1/5

Passo 5

Por fim, analisamos o comportamento de 500,x^-1/5=500x^1/5. Como x^1/5to+infty quando xto+infty, o quociente tende a zero. Portanto, o limite original existe e vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados