Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow\left(\frac{\pi}{3}, 1, \pi\right)} \frac{\operatorname{sec} x y+\operatorname{sec} y z}{y-\operatorname{sec} z}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y,z) = \frac{\operatorname{sec} x \,y + \operatorname{sec} y \,z}{\,y - \operatorname{sec} z\,}
quando (x,y,z)\to\bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr). O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis, e vamos usar o fato de que, se a função é contínua no ponto e o denominador não se anula, então o limite é obtido por substituição direta.

Passo 2

As funções \operatorname{sec} x, produto e soma são contínuas sempre que estiverem bem definidas, e y-\operatorname{sec} z é contínua desde que \operatorname{sec} z\neq0. Vamos verificar o denominador no ponto:
y - \operatorname{sec} z \;\longrightarrow\; 1 - \operatorname{sec}(\pi).
Como \operatorname{sec}(\pi)=1/\cos\pi=1/(-1)=-1, temos 1-(-1)=2\neq0. Logo, f é contínua nesse ponto e o limite vale f\bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr).

Passo 3

Calculemos os valores das secantes no ponto:
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \frac{1}{\cos(\pi/3)} = 2, \qquad \operatorname{sec}(1) = \frac{1}{\cos(1)}, \qquad \operatorname{sec}(\pi) = -1.

Passo 4

Substituindo em cada parte, o numerador tende a
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\cdot1 \;+\;\operatorname{sec}(1)\cdot\pi \;=\; 2 + \pi\,\operatorname{sec}(1),
e o denominador tende a
1 - \operatorname{sec}(\pi) = 1 - (-1) = 2.

Passo 5

Portanto, o limite é
\frac{2 + \pi\,\operatorname{sec}(1)}{2}.

Resposta

\frac{2 + \pi\,\operatorname{sec}(1)}{2}.

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