Calcule os seguintes limites: \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,2,0)} \frac{x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}}{x^{2}+y^{2}} Passo 1O enunciado pede o limite de uma função de três variáveis quando (x,y,z) se aproxima de (0,2,0), ou seja, \lim_{(x,y,z)\to(0,2,0)} \frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}}{x^{2}+y^{2}}. O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis. Se o denominador no ponto de interesse for diferente de zero, podemos usar a continuidade e substituir diretamente. Passo 2Verificamos o denominador em (0,2,0): x^{2}+y^{2}\bigl|_{(0,2,0)} = 0^{2} + 2^{2} = 4 \neq 0. Como o denominador não se anula, a função é contínua nesse ponto. Passo 3Calculamos o numerador em (0,2,0): x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2}\bigl|_{(0,2,0)} = 0^{2}\cdot 2^{2} + 2^{2}\cdot 0^{2} = 0 + 0 = 0. Passo 4Pela continuidade, o limite é simplesmente \frac{\text{numerador em }(0,2,0)}{\text{denominador em }(0,2,0)} = \frac{0}{4} = 0. Resposta 0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule os seguintes limites: \lim _{(x, y, z) \rightarrow\left(\frac{\pi}{3}, 1, \pi\right)} \frac{\operatorname{sec} x y+\operatorname{sec} y z}{y-\operatorname{sec} z} Calcule os seguintes limites: \lim _{(x, y) \rightarrow(2,-1)} \frac{3 x-2 y}{x+4 y} Calcule, caso exista: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{4}+y^{4}} Encontre as derivadas parciais de: f(x, y)=4 x^{2}-3 x y