Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,2,0)} \frac{x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de três variáveis quando (x,y,z) se aproxima de (0,2,0), ou seja,
\lim_{(x,y,z)\to(0,2,0)} \frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis. Se o denominador no ponto de interesse for diferente de zero, podemos usar a continuidade e substituir diretamente.

Passo 2

Verificamos o denominador em (0,2,0):
x^{2}+y^{2}\bigl|_{(0,2,0)} = 0^{2} + 2^{2} = 4 \neq 0.
Como o denominador não se anula, a função é contínua nesse ponto.

Passo 3

Calculamos o numerador em (0,2,0):
x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2}\bigl|_{(0,2,0)} = 0^{2}\cdot 2^{2} + 2^{2}\cdot 0^{2} = 0 + 0 = 0.

Passo 4

Pela continuidade, o limite é simplesmente
\frac{\text{numerador em }(0,2,0)}{\text{denominador em }(0,2,0)} = \frac{0}{4} = 0.

Resposta

0

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