Calcule, caso exista,
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{3}}{x{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado quer o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3}{x^2+y^2},
que é um caso típico de limite em \mathbb{R}^2. Para examinar sua existência, podemos testar caminhos específicos e depois usar coordenadas polares, que sistematizam todas as direções simultaneamente.

Passo 2

Testando caminhos simples, vemos:
– Se y=0, então
\frac{x^3}{x^2+0^2}=\frac{x^3}{x^2}=x\to0\quad\text{quando }x\to0.
– Se y=mx para constante m, então
\frac{x^3}{x^2+(mx)^2} =\frac{x^3}{x^2(1+m^2)} =\frac{x}{1+m^2}\to0\quad\text{quando }x\to0.
Em ambos os casos o valor tende a 0, sugerindo que o limite pode ser 0.

Passo 3

Usando coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r\ge0.
Substituindo em \frac{x^3}{x^2+y^2} obtém-se
\frac{(r\cos\theta)^3}{r^2} =r\cos^3\theta.
Como \cos^3\theta está limitado em valor absoluto por 1, temos
\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right| =|r\cos^3\theta|\le r,
e quando (x,y)\to(0,0) implica r\to0, a expressão tende a 0 independentemente de \theta.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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