Integrando por partes, calcule:
\int \nu^{2} \ln (\nu) d \nu

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por partes
\int \nu^{2}\,\ln(\nu)\,d\nu.
O conteúdo usado será a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar a integral:
u = \ln(\nu),\quad dv = \nu^{2}\,d\nu.
Então calculamos
du = \frac{1}{\nu}\,d\nu,\quad v = \int \nu^{2}\,d\nu = \frac{\nu^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \nu^{2}\,\ln(\nu)\,d\nu = u\,v \;-\;\int v\,du = \ln(\nu)\,\frac{\nu^{3}}{3}\;-\;\int \frac{\nu^{3}}{3}\,\frac{1}{\nu}\,d\nu.

Passo 4

Simplificamos a integral restante:
\int \frac{\nu^{3}}{3}\,\frac{1}{\nu}\,d\nu = \frac{1}{3}\int \nu^{2}\,d\nu = \frac{1}{3}\;\frac{\nu^{3}}{3} = \frac{\nu^{3}}{9}.

Passo 5

Reunindo os termos, obtemos
\int \nu^{2}\,\ln(\nu)\,d\nu = \frac{\nu^{3}}{3}\,\ln(\nu)\;-\;\frac{\nu^{3}}{9} + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \nu^{2}\,\ln(\nu)\,d\nu = \frac{\nu^{3}}{3}\,\ln(\nu) \;-\; \frac{\nu^{3}}{9} + C.

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