Considere o seguinte problema de valor inicial
2 x(x+y) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0, y(-1)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
2x(x+y)\,dx + \bigl(x^2 + y^2\bigr)\,dy = 0, \quad y(-1)=2
Este é um caso de equação diferencial exata, pois podemos escrever M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=2x(x+y),\qquad N(x,y)=x^2+y^2.
Para resolver, vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=M, \quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=N.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[2x^2+2xy\bigr] =2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x^2+y^2\bigr] =2x.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M(x,y) em relação a x para achar \varphi(x,y):
\varphi(x,y) =\int\bigl(2x^2+2xy\bigr)\,dx =\frac{2}{3}x^3 + x^2y + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 4

Agora impomos \partial\varphi/\partial y=N(x,y):
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =x^2 + h'(y) \stackrel!=x^2+y^2 \;\Longrightarrow\; h'(y)=y^2 \;\Longrightarrow\; h(y)=\frac{1}{3}y^3.

Passo 5

Logo, a função potencial completa é
\varphi(x,y) =\frac{2}{3}x^3 + x^2y + \frac{1}{3}y^3,
e a solução implícita geral da equação diferencial é
\varphi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; 2x^3 + 3x^2y + y^3 = C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(-1)=2:
2(-1)^3 + 3(-1)^2\,(2) + 2^3 =-2 + 6 + 8 =12,
portanto C=12.

Resposta

A solução implícita que satisfaz o valor inicial é
2x^3 + 3x^2y + y^3 = 12.

Exercícios relacionados