Calcule, caso exista,
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis e o que vamos usar é o teste de caminhos: se o limite existir, ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer aproximação de (0,0).

Passo 2

Aproximando por y=0, temos
f(x,0)=\frac{x^{2}}{x^{2}+0^{2}}=1.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=0}f(x,y)=1.

Passo 3

Aproximando por y=x, obtemos
f(x,x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12,
portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=x}f(x,y)=\frac12.

Passo 4

Como ao aproximar por y=0 o limite vale 1 e por y=x vale \tfrac12, os limites são diferentes. Logo não há um único valor para o limite.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados