Determine se as funções abaixo são homogêneas e o seu grau de homogeneidade, quando for possível:
\frac{x^{3}+2 x y^{2}-y^{4}}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = \frac{x^{3} + 2\,x\,y^{2} - y^{4}}{x}
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, determinar o grau de homogeneidade. O conteúdo necessário aqui é a definição de função homogênea em duas variáveis.

Passo 2

Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo real t\neq0, valer
f(t\,x,\,t\,y) \;=\; t^{k}\,f(x,y).
Nosso objetivo é calcular f(t\,x,t\,y) e ver se conseguimos escrever tudo como t^{k}f(x,y) para algum k.

Passo 3

Vamos substituir (x,y)\mapsto(t\,x,t\,y):
f(t\,x,t\,y) = \frac{(t\,x)^{3} + 2\,(t\,x)\,(t\,y)^{2} - (t\,y)^{4}}{t\,x} = \frac{t^{3}x^{3} + 2\,t^{3}x\,y^{2} - t^{4}y^{4}}{t\,x}.
Agora dividimos cada termo pelo denominador:
f(t\,x,t\,y) = t^{2}x^{2} \;+\; 2\,t^{2}y^{2} \;-\; t^{3}\,\frac{y^{4}}{x}.

Passo 4

No resultado temos dois termos com fator t^{2} e um termo com fator t^{3}. Não existe um único expoente k tal que todos os termos fiquem multiplicados por t^{k}. Logo, não podemos escrever f(t\,x,t\,y)=t^{k}f(x,y) para nenhum k.

Resposta

A função não é homogênea, portanto não há grau de homogeneidade.

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