Integrando por partes, calcule:
\int_{0}^{x} e^{t} \sin (x-t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I(x)=\int_{0}^{x}e^{t}\,\sin(x-t)\,dt
usando integração por partes. Aqui o conteúdo principal é converter essa integral num formato mais simples (convolução) e depois aplicar integração por partes para resolver a integral resultante.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x - t \quad\Longrightarrow\quad du = -dt,
e quando t=0 temos u=x, e quando t=x temos u=0. Assim
I(x) =\int_{t=0}^{t=x}e^{t}\,\sin(x-t)\,dt =\int_{u=x}^{u=0}e^{\,x-u}\,\sin u\,(-du) =\int_{0}^{x}e^{\,x-u}\,\sin u\,du.

Passo 3

Como e^{\,x} independe de u, fatoramos e escrevemos
I(x)=e^{\,x}\int_{0}^{x}e^{-u}\,\sin u\,du.
Chamemos
J(x)=\int_{0}^{x}e^{-u}\,\sin u\,du.

Passo 4

Calculamos a integral indefinida
K(u)=\int e^{-u}\,\sin u\,du
por partes duas vezes. Primeiro, tome
f=\sin u,\quad g' = e^{-u} \quad\Longrightarrow\quad f'=\cos u,\;g=-e^{-u},
então
K(u) =-e^{-u}\sin u+\int e^{-u}\cos u\,du.
Agora aplique partes em \int e^{-u}\cos u\,du com f=\cos u, g'=e^{-u}. Isso leva a um sistema que, ao resolver, dá
K(u)=-\tfrac12\,e^{-u}\bigl(\sin u+\cos u\bigr)+C.

Passo 5

Avaliamo J(x)=K(x)-K(0):
J(x) =-\tfrac12\,e^{-x}\bigl(\sin x+\cos x\bigr) -\Bigl[-\tfrac12\,e^{0}\bigl(\sin0+\cos0\bigr)\Bigr] =-\tfrac12\,e^{-x}\bigl(\sin x+\cos x\bigr)+\tfrac12.

Passo 6

Retornamos a I(x)=e^{\,x}J(x):
I(x) =e^{\,x}\Bigl(\tfrac12-\tfrac12\,e^{-x}(\sin x+\cos x)\Bigr) =\tfrac12\,e^{\,x}-\tfrac12\bigl(\sin x+\cos x\bigr).

Resposta

\boxed{I(x)=\frac{e^{x}}{2}-\frac{\sin x+\cos x}{2}}.

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