Calcule, caso exista,
lim (x, y) (1,0) x y-yx^2+y^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para você calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(1,0). O tema aqui é limite de função de várias variáveis e, para resolver, vamos precisar fatorar expressões, reescrever as variáveis e testar diferentes caminhos de aproximação para checar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, note que tanto o numerador quanto o denominador se anulam em (1,0), então faz sentido tentar simplificar. O numerador é
xy - y = y,(x - 1)
e o denominador é
x^2 + y^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 + y^2

Passo 3

Com isso, a expressão do limite fica
xy - yx^2 + y^2 - 2x + 1 = y(x-1)(x-1)^2 + y^2

Passo 4

Para analisar melhor, faça a mudança de variáveis
u = x - 1, v = y

Passo 5

Assim o limite caso existe seria
lim(u,v)to(0,0) uvu^2 + v^2

Passo 6

Agora vem a parte crucial: testar caminhos diferentes para ver se o valor do limite depende da reta de aproximação. Escolha, por exemplo,
v = k,u

Passo 7

Substituindo na expressão, temos
u,(k u)u^2 + (k u)^2 = k,u^2u^2(1 + k^2) = k1 + k^2, que é constante (depende de k), mas varia se você mudar k. Por exemplo, para k=0 dá 0, e para k=1 1/2.

Passo 8

Como o limite depende do caminho de aproximação (ou seja, de k), concluímos que não existe um único valor para o limite.
Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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