Calcule, caso exista,
Passo 1
O enunciado pede para você calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
. O tema aqui é limite de função de várias variáveis e, para resolver, vamos precisar fatorar expressões, reescrever as variáveis e testar diferentes caminhos de aproximação para checar se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, note que tanto o numerador quanto o denominador se anulam em
, então faz sentido tentar simplificar. O numerador é
e o denominador é
Passo 3
Com isso, a expressão do limite fica
Passo 4
Para analisar melhor, faça a mudança de variáveis
Passo 5
Assim o limite caso existe seria
Passo 6
Agora vem a parte crucial: testar caminhos diferentes para ver se o valor do limite depende da reta de aproximação. Escolha, por exemplo,
Passo 7
Substituindo na expressão, temos
Passo 8
Como o limite depende do caminho de aproximação (ou seja, de
), concluímos que não existe um único valor para o limite.
Portanto, o limite não existe.
Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.