Nos itens abaixo, encontre a série de Maclaurin de f(x) pela definição ou através de uma série já conhecida. Encontre também o raio de convergência associado.
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Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de cos(u) e o raio de convergência. Esse conteúdo é expansão em série de Taylor/Maclaurin e convergência de séries — vamos usar a série conhecida de u=x^2 e depois substituir .

Passo 2

Sabendo que a série de Maclaurin de cos(u) é
cos(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n(2n)!
essa fórmula, u é uma expressão genérica.

Passo 3

Fazendo a substituição u=x^2 na série acima, obtemos
cos(x^2)=sumn=0^infty(-1)^n(x^2)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^nx^4n(2n)!

Passo 4

Para determinar o raio de convergência R, aplicamos o critério da razão no termo geral an=(-1)^nx^4n(2n)!. Calculamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^4(n+1)/(2n+2)!|x|^4n/(2n)! =limntoinfty|x|^4(2n+1)(2n+2) =0
Como esse limite é zero para todo x, o raio de convergência é infinito.

Resposta

cos(x^2)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n(2n)!, R=infty

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