Nos itens abaixo, assuma que f(x) admite uma expansão em série de potências e encontre a série de Taylor para f(x) centrada no valor dado de a. Encontre também o raio de convergência associado.
f(x)=sen x, a=pi4.

Passo 1

A questão pede a expansão em série de Taylor de f(x)=sin x centrada em a=tfracpi4. Para isso, vamos usar a definição de série de Taylor e explorar o ciclo de derivadas de sin x.

Passo 2

As derivadas de sin x seguem um ciclo de período 4:
sin x e depois volta a x=tfracpi4.
Avaliando em sin(tfracpi4)=cos(tfracpi4)=tfracraiz22: como f^(n)l(tfracpi4r)=raiz22times +1,&nbmod4=0,1-1,&nbmod4=2,3 , temos

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Taylor em torno de a=tfracpi4:
sin x=sumn=0^inftyf^(n)(tfracpi4)n!,(x-tfracpi4)^n =raiz22sumk=0^infty(-1)^k(x-tfracpi4)^2k(2k)! +raiz22sumk=0^infty(-1)^k(x-tfracpi4)^2k+1(2k+1)!

Passo 4

Como sin x é uma função inteira (analítica em todo o plano complexo), o raio de convergência da série é infinito.

Resposta

A expansão em série de Taylor de sin x em torno de a=tfracpi4 é
sin x=raiz22sumk=0^infty(-1)^k(x-tfracpi4)^2k(2k)! +raiz22sumk=0^infty(-1)^k(x-tfracpi4)^2k+1(2k+1)!
O raio de convergência é R=infty.

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