Nos itens abaixo, assuma que
admite uma expansão em série de potências e encontre a série de Taylor para
centrada no valor dado de
. Encontre também o raio de convergência associado.
.
Passo 1
A questão pede a expansão em série de Taylor de
centrada em
. Para isso, vamos usar a definição de série de Taylor e explorar o ciclo de derivadas de
.
Passo 2
As derivadas de
seguem um ciclo de período 4:
e depois volta a
.
Avaliando em : como
, temos
Avaliando em
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de Taylor em torno de
:
Passo 4
Como
é uma função inteira (analítica em todo o plano complexo), o raio de convergência da série é infinito.
Resposta
A expansão em série de Taylor de
em torno de
é
O raio de convergência é
.