Faça um esboço do gráfico de z=raizx^2+y^2+1

Passo 1

Temos a função z=\sqrt{x{2}+y{2}+1}, que define uma superfície em R^3. O conteúdo aqui é superfícies de revolução e cortes para esboçar grafos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Note que z depende apenas de r=\sqrt{x{2}+y{2}}. Assim, é uma superfície de revolução obtida ao girar a curva em (r,z) em torno do eixo z. Em coordenadas cilíndricas temos z=\sqrt{r^{2}+1}.

Passo 3

Para entender a forma, estudamos cortes horizontais (níveis z=c). Se z=c≥1, então r=\sqrt{c^{2}-1}. Logo as linhas de nível são círculos de raio \sqrt{c^{2}-1}. Para c<1 não há pontos reais, pois o radicando ficaria negativo.

Passo 4

Agora, cortes verticais em planos como y=0 dão z=\sqrt{x^{2}+1}. Elevando ao quadrado, z{2}-x{2}=1, que é o ramo positivo de uma hipérbole. O mesmo acontece para x=0 traçando hipérbole em y–z.

Passo 5

Com essas famílias de curvas, esboçamos uma superfície de revolução que tem z mínimo igual a 1 no ponto (0,0,1), cresce sem limite e, para z grande, se comporta como um cone z≈r.

Resposta

É a porção superior do hiperbolóide de duas folhas dado por z{2}-x{2}-y^{2}=1, com z\ge1. Trata-se de uma superfície de revolução em torno do eixo z, com seção horizontal em círculos de raio \sqrt{z^{2}-1} e seção vertical (y=0 ou x=0) dado pelo ramo positivo da hipérbole z{2}-u{2}=1.

Exercícios relacionados