Calcule, caso exista.
lim (x, y) (0,0) x yy-x^3

Passo 1

O enunciado pede para analisar a existência e, se existir, calcular
lim(x,y)to(0,0)x,yy - x^3
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar aproximações por diferentes curvas para testar a unicidade do valor do limite.

Passo 2

Considere a reta y = m,x, com mneq0. Substituindo em
x,yy - x^3
temos
x,(m x)m x - x^3 = m x^2x,(m - x^2) = m xm - x^2
e ao levar (x,y)to(0,0) (isto é, xto0)
m xm - x^2longrightarrow 0
Logo, pela reta y=mx o limite parece ser 0.

Passo 3

Agora escolha a curva
y = x^3 + a,x^4,
com aneq0. Então
y - x^3 = a,x^4
e
x,yy - x^3 = x,(x^3 + a x^4)a x^4 = x^4(1 + a x)a x^4 = 1 + a xa
que, ao levar xto0, tende a
1a
Note que esse valor tfrac1a muda conforme escolhemos a.

Passo 4

Como pela reta y=mx o limite é 0 e pela curva y=x^3+a x^4 o limite é tfrac1aneq0 (podendo ser qualquer real, variando a), concluímos que o valor de
x,yy - x^3
depende do caminho de aproximação. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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