Encontre uma função potencial
para cada campo abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma função potencial
para o campo vetorial
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, precisamos usar conceitos de derivadas parciais e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Um campo vetorial
tem uma função potencial
se as derivadas parciais de
em relação a
e
dão
e
, respectivamente. Ou seja:
Vamos verificar se nosso campo
é conservativo, ou seja, se existe essa função
.
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
para encontrar uma parte de
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
e aparece porque ao integrar em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
em relação a
para relacionar com
:
Sabemos que essa derivada deve ser igual a
. Então, temos:
Passo 5
Simplificando a equação acima, percebemos que
. Agora, vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Juntando tudo, a função potencial
é:
Onde
é uma constante qualquer.