Encontre uma função potencial f(x, y) para cada campo abaixo:
F(x, y)=(2 x y, x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma função potencial f(x, y) para o campo vetorial F(x, y) = (2xy, x^2 + y^2) . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, precisamos usar conceitos de derivadas parciais e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Um campo vetorial F = (M, N) tem uma função potencial f(x, y) se as derivadas parciais de f em relação a x e y dão M e N , respectivamente. Ou seja:
partial fpartial x = M e partial fpartial y = N
Vamos verificar se nosso campo F é conservativo, ou seja, se existe essa função f .

Passo 3

Agora, vamos integrar M = 2xy em relação a x para encontrar uma parte de f(x, y) :
f(x, y) = integral 2xy , dx = x^2y + C(y)
Aqui, C(y) é uma função que depende somente de y e aparece porque ao integrar em relação a x , a constante de integração pode ser uma função de y .

Passo 4

Em seguida, vamos derivar f(x, y) = x^2y + C(y) em relação a y para relacionar com N :
partial fpartial y = x^2 + C'(y)
Sabemos que essa derivada deve ser igual a N = x^2 + y^2 . Então, temos:
x^2 + C'(y) = x^2 + y^2

Passo 5

Simplificando a equação acima, percebemos que C'(y) = y^2 . Agora, vamos integrar C'(y) em relação a y para encontrar C(y) :
C(y) = integral y^2 , dy = y^33 + K
Onde K é a constante de integração.

Resposta

Juntando tudo, a função potencial f(x, y) é:
f(x, y) = x^2y + y^33 + K
Onde K é uma constante qualquer.

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