Calcule, caso exista, o limite abaixo
onde
. Se não existir, justifique.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que é pedido aqui. Temos que calcular o limite:
onde a função [g(x)) é definida de duas formas diferentes:
Esse tipo de problema envolve entender como a função se comporta quando (x] se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (pela direita) e por valores menores que 2 (pela esquerda). Vamos precisar usar o conceito de limites laterais para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 2 pela direita (ou seja,
).
Para
, a função
. Então, substituindo na expressão do limite:
Simplificando essa fração:
Portanto:
Então, o limite pelo lado direito é 1.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 2 pela esquerda (ou seja,
).
Para
, a função
. Substituindo na expressão do limite:
Vamos simplificar o numerador:
Agora, nossa expressão fica:
Tomando o limite:
Então, o limite pelo lado esquerdo é 2.
Passo 4
Vamos comparar os limites que calculamos:
- Limite pela direita (
): 1 - Limite pela esquerda (
): 2
Como esses dois valores são diferentes (1 ≠ 2), isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: 1 pela direita e 2 pela esquerda.