Calcule, caso exista, o limite abaixo
lim x 2 g(x)-g(2)x-2
onde g(x)=llx, & x >= 2 x^22, & x<2. Se não existir, justifique.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que é pedido aqui. Temos que calcular o limite:
onde a função [g(x)) é definida de duas formas diferentes:
Esse tipo de problema envolve entender como a função se comporta quando (x] se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (pela direita) e por valores menores que 2 (pela esquerda). Vamos precisar usar o conceito de limites laterais para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 2 pela direita (ou seja, x > 2 ).
Para x >= 2 , a função g(x) = x . Então, substituindo na expressão do limite:
limx 2^+ g(x) - g(2)x - 2 = limx 2^+ x - 2x - 2
Simplificando essa fração:
x - 2x - 2 = 1 (para x neq 2)
Portanto:
limx 2^+ 1 = 1
Então, o limite pelo lado direito é 1.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 2 pela esquerda (ou seja, x < 2 ).
Para x < 2 , a função g(x) = x^22 . Substituindo na expressão do limite:
limx 2^- g(x) - g(2)x - 2 = limx 2^- x^22 - 2x - 2
Vamos simplificar o numerador:
x^22 - 2 = x^2 - 42 = (x - 2)(x + 2)2
Agora, nossa expressão fica:
(x - 2)(x + 2)/2x - 2 = x + 22 (para x neq 2)
Tomando o limite:
limx 2^- x + 22 = 42 = 2
Então, o limite pelo lado esquerdo é 2.

Passo 4

Vamos comparar os limites que calculamos:
  • Limite pela direita ( x 2^+ ): 1
  • Limite pela esquerda ( x 2^- ): 2
Como esses dois valores são diferentes (1 ≠ 2), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: 1 pela direita e 2 pela esquerda.

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