O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
na função
e analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
O valor mínimo de
é:
Responda cada uma das seguintes afirmações.
O valor mínimo de
Passo 1
Beleza, vamos iniciar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a função
e o objetivo é encontrar os valores de
e
que determinam o comportamento dessa função, especialmente o seu valor mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, para encontrar os pontos onde a função atinge seus extremos (mínimos ou máximos).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. É uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para encontrar o valor mínimo dessa função, precisamos determinar onde a derivada de
é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a extremos (mínimos ou máximos).
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de uma função racional
é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da derivada:
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
. Isso implica que o numerador deve ser igual a zero:
Passo 6
Vamos expandir os termos:
Primeiro:
Segundo:
Subtraindo o segundo do primeiro:
Simplificando:
Passo 7
Vamos combinar os termos semelhantes:
Então, a equação simplificada é:
Podemos fatorar:
Passo 8
Para que essa equação seja satisfeita para algum
, os coeficientes devem estar ajustados de acordo com a natureza da função. Vamos assumir que a função
tem um valor mínimo. Para isso, devemos garantir que o polinômio resultante permita a existência de uma solução real para
. Isso envolve analisar o discriminante da equação quadrática.
A equação é:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Agora, o discriminante
é:
Para que haja soluções reais,
:
Passo 9
Agora, para encontrar os valores específicos de
e
, precisaríamos de mais informações ou de mais afirmações da questão original. No entanto, com a informação fornecida, podemos expressar uma relação entre
e
:
Sem informações adicionais, não podemos determinar valores únicos para
e
. É possível que a questão original forneça mais condições ou afirmações para resolver completamente.
Resposta
Dado apenas as informações fornecidas, estabelecemos que
para que a função
tenha um valor mínimo real. Para determinar valores específicos de
e
, seriam necessárias condições adicionais.