O objetivo desta questão é determinar os valores de a e b na função f(x)=a x^2+b x+15 x^2-x e analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
O valor mínimo de f é:

Passo 1

Beleza, vamos iniciar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = a x^2 + b x + 15 x^2 - x e o objetivo é encontrar os valores de a e b que determinam o comportamento dessa função, especialmente o seu valor mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, para encontrar os pontos onde a função atinge seus extremos (mínimos ou máximos).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = a x^2 + b x + 15 x^2 - x . É uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para encontrar o valor mínimo dessa função, precisamos determinar onde a derivada de f(x) é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a extremos (mínimos ou máximos).

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) . A derivada de uma função racional u(x)v(x) é dada por:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Aqui, u(x) = a x^2 + b x + 1 e v(x) = 5 x^2 - x .

Passo 4

Vamos calcular u'(x) e v'(x) :
u'(x) = ddx(a x^2 + b x + 1) = 2a x + b
v'(x) = ddx(5 x^2 - x) = 10x - 1

Passo 5

Substituindo u'(x) e v'(x) na fórmula da derivada:
f'(x) = (2a x + b)(5 x^2 - x) - (a x^2 + b x + 1)(10x - 1)(5 x^2 - x)^2
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver f'(x) = 0 . Isso implica que o numerador deve ser igual a zero:
(2a x + b)(5 x^2 - x) - (a x^2 + b x + 1)(10x - 1) = 0

Passo 6

Vamos expandir os termos:
Primeiro:
(2a x + b)(5 x^2 - x) = 10a x^3 - 2a x^2 + 5b x^2 - b x
Segundo:
(a x^2 + b x + 1)(10x - 1) = 10a x^3 - a x^2 + 10b x^2 - b x + 10x - 1
Subtraindo o segundo do primeiro:
(10a x^3 - 2a x^2 + 5b x^2 - b x) - (10a x^3 - a x^2 + 10b x^2 - b x + 10x - 1) = 0
Simplificando:
10a x^3 - 2a x^2 + 5b x^2 - b x - 10a x^3 + a x^2 - 10b x^2 + b x - 10x + 1 = 0

Passo 7

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • 10a x^3 - 10a x^3 = 0
  • -2a x^2 + a x^2 = -a x^2
  • 5b x^2 - 10b x^2 = -5b x^2
  • -b x + b x = 0
  • -10x
  • +1
Então, a equação simplificada é:
- a x^2 - 5b x^2 - 10x + 1 = 0
Podemos fatorar:
- (a + 5b) x^2 - 10x + 1 = 0

Passo 8

Para que essa equação seja satisfeita para algum x , os coeficientes devem estar ajustados de acordo com a natureza da função. Vamos assumir que a função f(x) tem um valor mínimo. Para isso, devemos garantir que o polinômio resultante permita a existência de uma solução real para x . Isso envolve analisar o discriminante da equação quadrática.
A equação é:
- (a + 5b) x^2 - 10x + 1 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
(a + 5b) x^2 + 10x - 1 = 0
Agora, o discriminante De<a é:
De<a = 10^2 - 4(a + 5b)(-1) = 100 + 4(a + 5b)
Para que haja soluções reais, De<a >= 0 :
100 + 4(a + 5b) >= 0 implies a + 5b >= -25

Passo 9

Agora, para encontrar os valores específicos de a e b , precisaríamos de mais informações ou de mais afirmações da questão original. No entanto, com a informação fornecida, podemos expressar uma relação entre a e b :
a + 5b >= -25
Sem informações adicionais, não podemos determinar valores únicos para a e b . É possível que a questão original forneça mais condições ou afirmações para resolver completamente.

Resposta

Dado apenas as informações fornecidas, estabelecemos que a + 5b >= -25 para que a função f(x) tenha um valor mínimo real. Para determinar valores específicos de a e b , seriam necessárias condições adicionais.

Exercícios relacionados