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Calcule, caso exista, o limite da sequência
. Se o limite nāo existir, justifique.
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Calcule, caso exista, o limite da sequência . Se o limite nāo existir, justifique.
Passo 1
O enunciado pede o limite da sequência definida por x₁=
e xₙ₊₁=
. O conteúdo aqui é limites de sequência recursiva; vamos usar ponto fixo, monotonia e limite de sequência limitada.
Passo 2
Supondo que o limite exista e seja L, temos L=
. Elevando ao cubo, obtemos L³=3L, ou seja L(L²−3)=0, cujas raízes são L=0, L=
e L=−
. Como xₙ>0 para todo n, só nos interessa L=0 ou L=
.
Passo 3
Agora mostramos que a sequência é crescente e limitada acima por
. De fato, se xₙ<
, então xₙ²<3, logo 3xₙ>xₙ³ e portanto xₙ₊₁=
>xₙ. Também xₙ<
implica 3xₙ<3
e assim xₙ₊₁<
=
. Como x₁<
, por indução todos os termos satisfazem xₙ<xₙ₊₁<
.
Passo 4
Pela propriedade de que toda sequência crescente e limitada acima converge, concluímos que xₙ→L. Já vimos que a única raiz positiva da equação do ponto fixo é L=
, então esse é o limite.