1. (1,5) Calcule, caso exista, o limite da sequência (raiz[3]3, raiz[3]3 raiz[3]3, raiz[3]3 raiz[3]3 raiz[3]3, ldots). Se o limite nāo existir, justifique.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência definida por x₁= raiz[3]3 e xₙ₊₁= raiz[3]3,xₙ. O conteúdo aqui é limites de sequência recursiva; vamos usar ponto fixo, monotonia e limite de sequência limitada.

Passo 2

Supondo que o limite exista e seja L, temos L= raiz[3]3,L. Elevando ao cubo, obtemos L³=3L, ou seja L(L²−3)=0, cujas raízes são L=0, L= raiz3 e L=− raiz3. Como xₙ>0 para todo n, só nos interessa L=0 ou L= raiz3.

Passo 3

Agora mostramos que a sequência é crescente e limitada acima por raiz3. De fato, se xₙ< raiz3, então xₙ²<3, logo 3xₙ>xₙ³ e portanto xₙ₊₁= raiz[3]3xₙ>xₙ. Também xₙ< raiz3 implica 3xₙ<3 raiz3 e assim xₙ₊₁< raiz[3]3raiz3= raiz3. Como x₁< raiz3, por indução todos os termos satisfazem xₙ<xₙ₊₁< raiz3.

Passo 4

Pela propriedade de que toda sequência crescente e limitada acima converge, concluímos que xₙ→L. Já vimos que a única raiz positiva da equação do ponto fixo é L= raiz3, então esse é o limite.

Resposta

raiz3

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