Calcule os limites:
  1. \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x{3}+1}{x{2}-1}
  2. \lim _{t \rightarrow-2} \frac{t^{3}+4 t^{2}+4 t}{(t+2)(t-3)}
  3. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+3 x-10}{3 x^{2}-5 x-2}
  4. \lim _{t \rightarrow 5 / 2} \frac{2 t^{2}-3 t-5}{2 t-5}
  5. \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{2}+(1-a) x-a}{x-a}
  6. \lim _{t \rightarrow 4} \frac{3 t^{2}-17 t+20}{4 t^{2}-25 t+36}
  7. \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+6 x+5}{x^{2}-3 x-4}
  8. \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x{2}-1}{x{2}+3 x+2}
  9. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}
  10. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-12 x+20}
  11. \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{4}-16}{h}
  12. \lim _{t \rightarrow 0} \frac{(4+t)^{2}-16}{t}
  13. \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{25+3 t}-5}{t}
  14. \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a^{2}+b t}-a}{t}, a>0
  15. \lim _{h \rightarrow 1} \frac{\sqrt{h}-1}{h-1}
  16. \lim _{h \rightarrow-4} \frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)+h}}{h+4}
  17. \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h}
  18. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{-x}
  19. \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a}, a \neq 0
  20. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}
  21. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2 \sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}}
  22. \lim _{x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}
  23. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular vinte e três limites que caem em três padrões principais:
  1. Frações de polinômios que dão forma 0/0, a resolver por fatoração e cancelamento.
  2. Diferenças de potências ou raízes divididas por uma pequena variação, a resolver por expansão ou racionalização por conjugado.
  3. Limites que envolvem indeterminação infinita ou raízes de ordens diferentes.

Passo 2

Limites de funções racionais polinomiais (1–10): fatoramos numerador e denominador, cancelamos o fator comum e substituímos o ponto.
  1. dfracx^3+1x^2-1=dfrac(x+1)(x^2-x+1)(x+1)(x-1)to dfracx^2-x+1x-1|x=-1=dfrac1+1+1-2=-tfrac32
  2. dfract^3+4t^2+4t(t+2)(t-3)=dfract(t+2)^2(t+2)(t-3)to dfract(t+2)t-3|t=-2=0
  3. dfracx^2+3x-103x^2-5x-2=dfrac(x-2)(x+5)(x-2)(3x+1)to dfracx+53x+1|x=2=1
  4. dfrac2t^2-3t-52t-5=dfrac(2t-5)(t+1)2t-5to t+1|t=5/2=tfrac72
  5. dfracx^2+(1-a)x-ax-a=dfrac(x-a)(x+1)x-ato x+1|x=a=a+1
  6. dfrac3t^2-17t+204t^2-25t+36=dfrac3(t-4)(t-tfrac53)4(t-4)(t-tfrac94)to dfrac3(t-tfrac53)4(t-tfrac94)|t=4=1
  7. dfracx^2+6x+5x^2-3x-4=dfrac(x+1)(x+5)(x+1)(x-4)to dfracx+5x-4|x=-1=-tfrac45
  8. dfracx^2-1x^2+3x+2=dfrac(x-1)(x+1)(x+1)(x+2)to dfracx-1x+2|x=-1=-2
  9. dfracx^2-4x-2=dfrac(x-2)(x+2)x-2to x+2|x=2=4
  10. dfracx^2-5x+6x^2-12x+20=dfrac(x-2)(x-3)(x-2)(x-10)to dfracx-3x-10|x=2=tfrac18

Passo 3

Diferenças de potências divididas pela variação (11–12): expandimos ou usamos a fórmula de diferença de potências.
11. dfrac(2+h)^4-16h=dfrac16+32h+24h^2+8h^3+h^4-16h=32+24h+8h^2+h^3to32
12. dfrac(4+t)^2-16t=dfrac16+8t+t^2-16t=8+tto8

Passo 4

Racionalização pelo conjugado para raízes quadradas (13–15,18,23):
13. dfracraiz25+3t-5tcdotdfracraiz25+3t+5raiz25+3t+5=dfrac3tt(raiz25+3t+5)todfrac310
14. dfracraiza^2+bt-atcdotdfracraiza^2+bt+araiza^2+bt+a=dfracbraiza^2+bt+atodfracb2a
15. dfracraizh-1h-1cdotdfracraizh+1raizh+1=dfrach-1(h-1)(raizh+1)todfrac12
18. dfracraiz1+x-1-x=-dfracraiz1+x-1xcdotdfracraiz1+x+1raiz1+x+1=-dfrac12
23. dfracraiz1+x-raiz1-xxcdotdfracraiz1+x+raiz1-xraiz1+x+raiz1-x=dfrac2xx(raiz1+x+raiz1-x)to1

Passo 5

Análise de limite infinito por denominação zero (16):
dfracraiz2(h^2-8)+hh+4 tem numerador tendendo a raiz12neq0 e denominador a 0, logo não há limite finito (vertical).

Passo 6

Diferenças de raízes cúbicas (17,19): usamos o análogo do conjugado cúbico ou a derivada em ponto:
17. limhto0dfracraiz[3]8+h-2h=dfrac13cdot2^2=tfrac112
19. limxto adfracraiz[3]x-raiz[3]ax-a=dfrac13a^2/3

Passo 7

Razões entre distintas ordens de raiz (20–21): fatoramos usando produto de soma de raízes:
20.
x^1/3-1x^1/4-1 =(x-1)/(x^2/3+x^1/3+1)(x-1)/(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1) to43
  1. Com t=x^1/3-1 vem raiz[3]x^2-2raiz[3]x+1=t^2 e (x-1)^2=t^2(3+3t+t^2)^2,
    portanto o quociente tende a 1/9.

Passo 8

Racionalização dupla para limite 22:
3-raiz5+x1-raiz5-x cdot 3+raiz5+x3+raiz5+x cdot 1+raiz5-x1+raiz5-x ;Longrightarrow; -1+raiz5-x3+raiz5+x ;xrightarrow[xto4]; -tfrac13

Resposta

  1. -tfrac32
  2. 0
  3. 1
  4. tfrac72
  5. a+1
  6. 1
  7. -tfrac45
  8. -2
  9. 4
  10. tfrac18
  11. 32
  12. 8
  13. tfrac310
  14. tfrac b2a
  15. tfrac12
  16. não existe (infinito)
  17. tfrac112
  18. -tfrac12
  19. tfrac13a^2/3
  20. tfrac43
  21. tfrac19
  22. -tfrac13
  23. 1

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