Calcule, caso exista, o limite das sequências de termo geral
abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede o limite quando
tende ao infinito (caso exista). As informações explícitas do enunciado são:
- Termo geral:
. - A pergunta: calcular
, se esse limite existir.
Observações úteis que vêm do enunciado e que vamos usar depois (aqui apenas listadas, sem resolver ainda): - Numerador e denominador são polinômios em
. - O maior expoente de
em ambos é (grau igual a ).
Passo 2
Estratégia (explicada didaticamente): quando se tem uma sequência que é quociente de polinômios em
, os termos de maior grau dominam o comportamento para
grande. Uma forma sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui
), transformando a expressão em termos de potências decrescentes de
. Depois usamos que, para todo inteiro
,
Breve justificativa dessa propriedade simples: para dado
escolher
garante que, para
,
. Assim
.
Passo 3
Aplicando a ideia de dividir por
: escrevemos
como
Passo 4
Agora tomamos o limite termo a termo. Usamos propriedades básicas de limites (limite de soma é soma dos limites, limite de quociente é quociente dos limites quando o denominador limite não é zero) e a propriedade da Passo 2:
Portanto
Note que a operação é válida porque o limite do denominador é
.
Passo 5
Comentário prático e exemplo extra (para fixar a técnica): a mesma técnica funciona sempre que numerator e denominator são polinômios. Exemplo rápido:
, dividindo por
(o maior grau) e fazendo os termos
desaparecerem.