Calcule, caso exista, o limite das sequências de termo geral a_{n} abaixo:
\frac{n^{3}+3 n+1}{4 n^{3}+2}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral a_{n} e pede o limite quando n tende ao infinito (caso exista). As informações explícitas do enunciado são:
  • Termo geral: a_{n}=\dfrac{n^{3}+3n+1}{4n^{3}+2}.
  • A pergunta: calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}, se esse limite existir.
    Observações úteis que vêm do enunciado e que vamos usar depois (aqui apenas listadas, sem resolver ainda):
  • Numerador e denominador são polinômios em n.
  • O maior expoente de n em ambos é 3 (grau igual a 3).

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente): quando se tem uma sequência que é quociente de polinômios em n, os termos de maior grau dominam o comportamento para n grande. Uma forma sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de n que aparece (aqui n^{3}), transformando a expressão em termos de potências decrescentes de 1/n. Depois usamos que, para todo inteiro k>0,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{k}}=0.
Breve justificativa dessa propriedade simples: para dado \varepsilon>0 escolher N>\bigl(\tfrac{1}{\varepsilon}\bigr)^{1/k} garante que, para n\ge N, \frac{1}{n^{k}}\le\frac{1}{N^{k}}<\varepsilon. Assim \frac{1}{n^{k}}\to0.

Passo 3

Aplicando a ideia de dividir por n^{3}: escrevemos a_{n} como
a_{n}=\frac{n^{3}+3n+1}{4n^{3}+2} =\frac{n^{3}\!\left(1+\dfrac{3n}{n^{3}}+\dfrac{1}{n^{3}}\right)}{n^{3}\!\left(4+\dfrac{2}{n^{3}}\right)} =\frac{1+\dfrac{3}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}}{4+\dfrac{2}{n^{3}}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite termo a termo. Usamos propriedades básicas de limites (limite de soma é soma dos limites, limite de quociente é quociente dos limites quando o denominador limite não é zero) e a propriedade da Passo 2:
\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n^{2}}=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{3}}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n} =\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\!\left(1+\dfrac{3}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}\right)}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\!\left(4+\dfrac{2}{n^{3}}\right)} =\frac{1+0+0}{4+0}=\frac{1}{4}.
Note que a operação é válida porque o limite do denominador é 4\neq0.

Passo 5

Comentário prático e exemplo extra (para fixar a técnica): a mesma técnica funciona sempre que numerator e denominator são polinômios. Exemplo rápido: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^{2}+5}{n^{2}-3}=\dfrac{2}{1}=2, dividindo por n^{2} (o maior grau) e fazendo os termos 1/n^{k} desaparecerem.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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