Calcule as integrais indefinidas usando a integração por partes.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
usando a técnica de integração por partes. Observação importante: a função
só está definida para
, então a integral é considerada nesse domínio.
Passo 2
Relembrando a fórmula de integração por partes (vamos entendê-la antes de usar): para duas funções suficientemente suaves
e
,
Aqui
é uma função que escolhemos para ser diferenciada (porque sua derivada é mais simples) e
é a parte que escolhemos para integrar (pois precisamos encontrar
). No lado direito,
é a diferencial de
e
é a primitiva de
.
Passo 3
Escolha conveniente para este problema: deixe
Justificativa: ao diferenciarmos
obtemos algo com
(mais simples), e
tem primitiva imediata
. Agora calculemos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes com essas escolhas:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto reduzimos o problema original a calcular
, que é mais simples.
Passo 5
Calcular
também por partes (mesma ideia): escolha
Então
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir o resultado do Passo 5:
Fazer a distribuição e simplificar (álgebra simples):
Este é o resultado da integral indefinida, faltando apenas a constante de integração.