Calcule as integrais indefinidas usando a integração por partes.
\int \ln ^{2}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida \int \ln^{2}(x)\,dx usando a técnica de integração por partes. Observação importante: a função \ln(x) só está definida para x>0, então a integral é considerada nesse domínio.

Passo 2

Relembrando a fórmula de integração por partes (vamos entendê-la antes de usar): para duas funções suficientemente suaves u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para ser diferenciada (porque sua derivada é mais simples) e dv é a parte que escolhemos para integrar (pois precisamos encontrar v=\int dv). No lado direito, du é a diferencial de u e v é a primitiva de dv.

Passo 3

Escolha conveniente para este problema: deixe
u = \ln^{2}(x), \qquad dv = dx.
Justificativa: ao diferenciarmos \ln^{2}(x) obtemos algo com \ln(x) (mais simples), e dv=dx tem primitiva imediata v=x. Agora calculemos du e v:
du = \frac{d}{dx}\big(\ln^{2}(x)\big)\,dx = 2\ln(x)\cdot\frac{1}{x}\,dx = 2\,\frac{\ln(x)}{x}\,dx,
v = \int dv = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes com essas escolhas:
\int \ln^{2}(x)\,dx = u v - \int v\,du = x\ln^{2}(x) - \int x\cdot\left(2\,\frac{\ln(x)}{x}\,dx\right).
Simplificando a expressão dentro da integral:
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\ln^{2}(x) - 2\int \ln(x)\,dx.
Portanto reduzimos o problema original a calcular \int \ln(x)\,dx, que é mais simples.

Passo 5

Calcular \int \ln(x)\,dx também por partes (mesma ideia): escolha
u = \ln(x), \qquad dv = dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x.

Passo 6

Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir o resultado do Passo 5:
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\ln^{2}(x) - 2\big(x\ln(x) - x\big).
Fazer a distribuição e simplificar (álgebra simples):
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\ln^{2}(x) - 2x\ln(x) + 2x.
Este é o resultado da integral indefinida, faltando apenas a constante de integração.

Resposta

x\ln^{2}(x)-2x\ln(x)+2x + C

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