Calcule, caso exista, o limite das sequências de termo geral
abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, se existir, o limite da sequência cujo termo geral é
Informações dadas e objetivo:
- A sequência é definida por
. - A pergunta é: existe
? Se sim, qual é esse limite?
Passo 2
Primeira simplificação útil: escrever a fração em termos de
. Observa-se que
portanto
Como
quando
, a expressão entre colchetes tende a
. Assim o termo dentro do colchete é pequeno quando
é grande, e o fator
pode produzir um limite finito diferente de zero — por isso precisamos de uma expansão assintótica mais precisa de
.
Passo 3
Vou obter uma expansão em potências de
para
. Uso a série de Taylor de
em
pequeno:
Aqui tomo
. Multiplicando por
dá
Simplificando os fatores
,
Passo 4
Agora exponencio para recuperar
:
Separando o fator
,
Define
. Como
quando
, uso a expansão de
:
Passo 5
Calculo os termos necessários de
até ordem
.
- Primeiro,
. - Em seguida,
logo
Somando os termos:
Agrupando os coeficientes de
e
,
Passo 6
Voltando a
,
Dividindo por
,
Portanto a diferença que aparece em
é
Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Como
, segue que
converge quando
e o limite é o termo constante da expansão:
Intuição final: a diferença entre
e
é da ordem de
; multiplicando essa diferença por
produz um valor finito, aqui igual a
.