Calcule, caso exista, o limite das sequências de termo geral a_{n} abaixo:
n\left[1-\frac{(n+1)^{n}}{e n^{n}}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, se existir, o limite da sequência cujo termo geral é
a_{n}=n\left[1-\frac{(n+1)^{n}}{e\,n^{n}}\right].
Informações dadas e objetivo:
  • A sequência é definida por a_{n}=n\bigl(1-(n+1)^{n}/(e\,n^{n})\bigr).
  • A pergunta é: existe \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}? Se sim, qual é esse limite?

Passo 2

Primeira simplificação útil: escrever a fração em termos de (1+1/n)^{n}. Observa-se que
\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n},
portanto
a_{n}=n\left[1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right].
Como \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\to e quando n\to\infty, a expressão entre colchetes tende a 1-\dfrac{e}{e}=0. Assim o termo dentro do colchete é pequeno quando n é grande, e o fator n pode produzir um limite finito diferente de zero — por isso precisamos de uma expansão assintótica mais precisa de \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 3

Vou obter uma expansão em potências de 1/n para \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}. Uso a série de Taylor de \ln(1+x) em x pequeno:
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+O(x^{4})\quad\text{quando }x\to 0.
Aqui tomo x=\dfrac{1}{n}. Multiplicando por n
n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) = n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}+O\!\left(\frac{1}{n^{4}}\right)\right).
Simplificando os fatores n,
n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).

Passo 4

Agora exponencio para recuperar \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}:
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =\exp\!\Bigl(n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\Bigr) =\exp\!\left(1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right).
Separando o fator e^{1}=e,
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e\cdot \exp\!\left(-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right).
Define t=-\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{3n^{2}}+O\!\left(\dfrac{1}{n^{3}}\right). Como t\to 0 quando n\to\infty, uso a expansão de e^{t}:
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2}+O(t^{3}).

Passo 5

Calculo os termos necessários de e^{t} até ordem 1/n^{2}.
  • Primeiro, t=-\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{3n^{2}}+O\!\left(\dfrac{1}{n^{3}}\right).
  • Em seguida,
t^{2}=\left(-\frac{1}{2n}\right)^{2}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right)=\frac{1}{4n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right),
logo
\frac{t^{2}}{2}=\frac{1}{8n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Somando os termos:
e^{t}=1+\left(-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^{2}}\right)+\frac{1}{8n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Agrupando os coeficientes de 1/n e 1/n^{2},
e^{t}=1-\frac{1}{2n}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{8}\right)\frac{1}{n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right) =1-\frac{1}{2n}+\frac{11}{24\,n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).

Passo 6

Voltando a \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n},
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e\left(1-\frac{1}{2n}+\frac{11}{24\,n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right).
Dividindo por e,
\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =1-\frac{1}{2n}+\frac{11}{24\,n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Portanto a diferença que aparece em a_{n} é
1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =\frac{1}{2n}-\frac{11}{24\,n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Multiplicando por n obtemos
a_{n}=n\left[1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right] =\frac{1}{2}-\frac{11}{24\,n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 7

Como a_{n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{11}{24n}+O\!\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right), segue que a_{n} converge quando n\to\infty e o limite é o termo constante da expansão:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\frac{1}{2}.
Intuição final: a diferença entre \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} e e é da ordem de 1/n; multiplicando essa diferença por n produz um valor finito, aqui igual a 1/2.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados